1. Un numero complesso z = a + bi ha parte reale a e parte immaginaria b. Qual è il modulo di z = 3 + 4i?
💡Spiegazione
Il modulo di un numero complesso z = a + bi è |z| = √(a² + b²). Per z = 3 + 4i: |z| = √(9 + 16) = √25 = 5. Il modulo rappresenta la distanza del punto (a, b) dall'origine nel piano di Gauss.
2. In quale quadrante il seno è positivo e il coseno è negativo?
💡Spiegazione
Nel secondo quadrante (90° < α < 180°) il seno è positivo (le ordinate sono positive) e il coseno è negativo (le ascisse sono negative). Schema: I quadrante: sin+ cos+; II: sin+ cos-; III: sin- cos-; IV: sin- cos+.
3. Qual è il valore di sin(30°)?
💡Spiegazione
Il seno di 30° (π/6 radianti) vale 1/2. È uno dei valori notevoli della trigonometria da ricordare: sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2, sin(60°) = √3/2, sin(90°) = 1.
4. Qual è il periodo della funzione y = sin(x)?
💡Spiegazione
La funzione seno ha periodo 2π (360°): dopo un intervallo di 2π la funzione ripete gli stessi valori. sin(x + 2π) = sin(x) per ogni x. La funzione tangente, invece, ha periodo π.
5. La funzione esponenziale f(x) = eˣ ha quale proprietà fondamentale?
💡Spiegazione
La funzione esponenziale f(x) = eˣ è l'unica funzione (a meno di costanti moltiplicative) la cui derivata è uguale a se stessa: d/dx(eˣ) = eˣ. Passa per il punto (0, 1), è sempre positiva, strettamente crescente e non è periodica.
6. Qual è il valore di tan(45°)?
💡Spiegazione
tan(45°) = sin(45°)/cos(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1. A 45° il seno e il coseno sono uguali, quindi il loro rapporto (tangente) vale 1. In un triangolo rettangolo isoscele, i cateti sono uguali e la tangente dell'angolo acuto è 1.
7. La funzione y = 2ˣ è:
💡Spiegazione
La funzione esponenziale y = aˣ con a > 1 (in questo caso a = 2) è strettamente crescente per ogni x. Passa per (0, 1), tende a +∞ per x → +∞ e tende a 0 per x → -∞. Se 0 < a < 1, la funzione sarebbe decrescente.
8. Qual è il valore di cos(60°)?
💡Spiegazione
Il coseno di 60° (π/3 radianti) vale 1/2. Si noti che cos(60°) = sin(30°) = 1/2. Questa relazione è dovuta alla complementarità: sin(α) = cos(90° - α).
9. L'equazione x²/9 - y²/4 = 1 rappresenta:
💡Spiegazione
L'equazione x²/a² - y²/b² = 1 è l'equazione canonica di un'iperbole con asse trasverso sull'asse x. I segni opposti (+ e -) distinguono l'iperbole dall'ellisse. In questo caso a² = 9 (a = 3) e b² = 4 (b = 2).
10. Quale equazione rappresenta una parabola con asse di simmetria orizzontale?
💡Spiegazione
Una parabola con asse di simmetria orizzontale (parallelo all'asse x) ha equazione della forma x = ay² + by + c, dove la variabile indipendente è y. La parabola classica y = ax² + bx + c ha asse di simmetria verticale.
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