1. L'equazione y = x² - 4x + 3 rappresenta una parabola. Qual è il vertice?
💡Spiegazione
Il vertice di una parabola y = ax² + bx + c ha coordinate xᵥ = -b/(2a) = -(-4)/(2·1) = 2 e yᵥ = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1. Quindi il vertice è V(2, -1).
2. Qual è il dominio della funzione f(x) = √(x - 3)?
💡Spiegazione
Per la radice quadrata, il radicando deve essere non negativo: x - 3 ≥ 0, cioè x ≥ 3. Il dominio è l'intervallo [3, +∞). Si include x = 3 perché √0 = 0 è definito.
3. Quale delle seguenti è la proprietà del logaritmo di un prodotto?
💡Spiegazione
La proprietà fondamentale del logaritmo di un prodotto è: log(a · b) = log(a) + log(b). Il logaritmo trasforma i prodotti in somme. Analogamente, log(a/b) = log(a) - log(b) e log(aⁿ) = n · log(a).
4. La distanza tra i punti A(1, 2) e B(4, 6) è:
💡Spiegazione
La distanza si calcola con la formula: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] = √[(4-1)² + (6-2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5.
5. Due rette sono parallele quando hanno:
💡Spiegazione
Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare (m₁ = m₂) ma intercette diverse. Se anche le intercette coincidono, le rette sono coincidenti. Rette con prodotto dei coefficienti angolari = -1 sono perpendicolari.
6. Una funzione f(x) è pari quando:
💡Spiegazione
Una funzione è pari quando f(-x) = f(x) per ogni x del dominio. Graficamente, il grafico è simmetrico rispetto all'asse y. Esempio: f(x) = x² è pari perché (-x)² = x². Una funzione è dispari quando f(-x) = -f(x).
7. Qual è l'equazione della retta passante per i punti A(1, 2) e B(3, 6)?
💡Spiegazione
Il coefficiente angolare è m = (6-2)/(3-1) = 4/2 = 2. Usando la formula punto-pendenza con A(1,2): y - 2 = 2(x - 1) → y = 2x - 2 + 2 → y = 2x. Verifica con B: y = 2(3) = 6 ✓.
8. Qual è il punto medio del segmento con estremi A(2, 4) e B(6, 8)?
💡Spiegazione
Il punto medio si calcola come la media aritmetica delle coordinate: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) = ((2+6)/2, (4+8)/2) = (4, 6).
9. Quale tra le seguenti è una funzione iniettiva?
💡Spiegazione
Una funzione è iniettiva quando a valori diversi di x corrispondono valori diversi di y (non ci sono due x che danno lo stesso y). f(x) = 2x + 1 è iniettiva perché è una funzione lineare con pendenza non nulla. Le altre hanno coppie di x diverse con lo stesso y (es: (-2)² = 2² = 4).
10. Se log₁₀(x) = 2, quanto vale x?
💡Spiegazione
log₁₀(x) = 2 significa 10² = x, quindi x = 100. Il logaritmo in base 10 (logaritmo decimale) chiede a quale esponente elevare 10 per ottenere x.
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