1. L'equazione y = x² - 4x + 3 rappresenta una parabola. Qual è il vertice?
💡Spiegazione
Il vertice di una parabola y = ax² + bx + c ha coordinate xᵥ = -b/(2a) = -(-4)/(2·1) = 2 e yᵥ = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1. Quindi il vertice è V(2, -1).
2. Qual è il dominio della funzione f(x) = √(x - 3)?
💡Spiegazione
Per la radice quadrata, il radicando deve essere non negativo: x - 3 ≥ 0, cioè x ≥ 3. Il dominio è l'intervallo [3, +∞). Si include x = 3 perché √0 = 0 è definito.
3. La parabola y = -x² + 4 interseca l'asse x nei punti:
💡Spiegazione
Le intersezioni con l'asse x si trovano ponendo y = 0: -x² + 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2. La parabola interseca l'asse x nei punti (-2, 0) e (2, 0).
4. Qual è il dominio della funzione f(x) = log(x - 1)?
💡Spiegazione
Il logaritmo è definito solo per argomenti strettamente positivi. Quindi x - 1 > 0, cioè x > 1. Il dominio è l'intervallo (1, +∞). Si noti che x = 1 è escluso perché log(0) non è definito.
5. Qual è il punto medio del segmento con estremi A(2, 4) e B(6, 8)?
💡Spiegazione
Il punto medio si calcola come la media aritmetica delle coordinate: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) = ((2+6)/2, (4+8)/2) = (4, 6).
6. Qual è il valore di log₂(8)?
💡Spiegazione
log₂(8) chiede: 'A quale potenza devo elevare 2 per ottenere 8?'. Poiché 2³ = 8, la risposta è 3. In generale, logₐ(b) = c significa aᶜ = b.
7. Una funzione f(x) è pari quando:
💡Spiegazione
Una funzione è pari quando f(-x) = f(x) per ogni x del dominio. Graficamente, il grafico è simmetrico rispetto all'asse y. Esempio: f(x) = x² è pari perché (-x)² = x². Una funzione è dispari quando f(-x) = -f(x).
8. La distanza tra i punti A(1, 2) e B(4, 6) è:
💡Spiegazione
La distanza si calcola con la formula: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] = √[(4-1)² + (6-2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5.
9. Quale delle seguenti è la proprietà del logaritmo di un prodotto?
💡Spiegazione
La proprietà fondamentale del logaritmo di un prodotto è: log(a · b) = log(a) + log(b). Il logaritmo trasforma i prodotti in somme. Analogamente, log(a/b) = log(a) - log(b) e log(aⁿ) = n · log(a).
10. Due rette sono parallele quando hanno:
💡Spiegazione
Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare (m₁ = m₂) ma intercette diverse. Se anche le intercette coincidono, le rette sono coincidenti. Rette con prodotto dei coefficienti angolari = -1 sono perpendicolari.
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