1. Qual è il massimo comune divisore (MCD) di 12 e 18?
💡Spiegazione
Per trovare il MCD si scompongono i numeri in fattori primi: 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3². Il MCD si ottiene prendendo i fattori comuni con il minimo esponente: 2¹ × 3¹ = 6.
2. Qual è il risultato della divisione tra i polinomi (x² - 9) : (x + 3)?
💡Spiegazione
Il polinomio x² - 9 è una differenza di quadrati che si fattorizza come (x + 3)(x - 3). Dividendo per (x + 3) si ottiene (x - 3).
3. Quale dei seguenti è un esempio di insieme vuoto?
💡Spiegazione
L'insieme dei numeri naturali minori di 0 è vuoto perché i numeri naturali partono da 0 (o da 1, a seconda della convenzione) e non esistono numeri naturali negativi.
4. Qual è il grado del polinomio 4x³y² - 2x²y + 7x?
💡Spiegazione
Il grado di un polinomio è il grado massimo dei suoi monomi. Il primo monomio 4x³y² ha grado 3+2=5, il secondo 2x²y ha grado 2+1=3, il terzo 7x ha grado 1. Quindi il grado del polinomio è 5.
5. Se l'insieme A ha 3 elementi e l'insieme B ha 4 elementi, quanti elementi ha al massimo A ∩ B?
💡Spiegazione
L'intersezione A ∩ B contiene gli elementi comuni ai due insiemi. Al massimo, tutti gli elementi di A possono appartenere anche a B (quando A ⊆ B), quindi A ∩ B può avere al massimo 3 elementi, cioè il numero di elementi dell'insieme più piccolo.
6. Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {x ∈ A | x è pari}, qual è l'insieme complementare di B rispetto ad A?
💡Spiegazione
B = {2, 4} contiene gli elementi pari di A. Il complementare di B rispetto ad A contiene tutti gli elementi di A che non appartengono a B, cioè {1, 3, 5}.
7. Quale proprietà delle potenze è espressa dalla formula aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ?
💡Spiegazione
Quando si moltiplicano due potenze con la stessa base, si mantiene la base e si sommano gli esponenti. Questa è la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base.
8. Qual è il risultato dell'operazione A ∪ B se A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}?
💡Spiegazione
L'unione di due insiemi contiene tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi. Gli elementi comuni (in questo caso il 3) vengono contati una sola volta. Quindi A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
9. Qual è il risultato della semplificazione del monomio 6x³y² · 2x²y?
💡Spiegazione
Per moltiplicare due monomi si moltiplicano i coefficienti (6 × 2 = 12) e si sommano gli esponenti delle stesse variabili: x³⁺² = x⁵ e y²⁺¹ = y³. Il risultato è 12x⁵y³.
10. L'equazione 2(x - 3) + 4 = x + 1 ha soluzione:
💡Spiegazione
Sviluppiamo: 2x - 6 + 4 = x + 1, cioè 2x - 2 = x + 1. Portando x a sinistra e i numeri a destra: 2x - x = 1 + 2, quindi x = 3.
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