La funzione esponenziale f(x) = eˣ è l'unica funzione (a meno di costanti moltiplicative) uguale alla propria derivata: d/dx(eˣ) = eˣ. Questa proprietà rende e (numero di Nepero, e ≈ 2,718) la base 'naturale' per le funzioni esponenziali.
2. Se f'(x) > 0 in un intervallo, allora la funzione f(x) in quell'intervallo è:
💡Spiegazione
Se la derivata prima f'(x) è positiva in un intervallo, significa che la retta tangente ha pendenza positiva in ogni punto, quindi la funzione è strettamente crescente in quell'intervallo. Viceversa, se f'(x) < 0, la funzione è decrescente.
3. Quale forma indeterminata si presenta nel limite lim(x→∞) x/eˣ?
💡Spiegazione
Per x→∞, sia x che eˣ tendono a infinito, quindi si presenta la forma indeterminata ∞/∞. Si risolve con il teorema di de l'Hôpital: lim(x→∞) x/eˣ = lim(x→∞) 1/eˣ = 0. L'esponenziale cresce molto più velocemente della funzione lineare.
4. Cosa rappresenta geometricamente la derivata di una funzione in un punto?
💡Spiegazione
La derivata f'(x₀) rappresenta il coefficiente angolare (pendenza) della retta tangente al grafico della funzione nel punto (x₀, f(x₀)). Se f'(x₀) > 0, la funzione è crescente; se f'(x₀) < 0, è decrescente; se f'(x₀) = 0, il punto potrebbe essere un massimo, un minimo o un flesso.
5. Un punto di flesso è un punto in cui:
💡Spiegazione
Un punto di flesso è un punto in cui la curva cambia concavità: da concava verso l'alto (convessa) a concava verso il basso (concava), o viceversa. Analiticamente, si verifica quando la derivata seconda f''(x) cambia segno. In un flesso, f''(x₀) = 0 (condizione necessaria ma non sufficiente).
6. In probabilità, se un evento ha probabilità 0,3, qual è la probabilità dell'evento complementare?
💡Spiegazione
La probabilità dell'evento complementare è: P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7. La somma delle probabilità di un evento e del suo complementare è sempre 1, poiché uno dei due si verifica sicuramente.
7. La derivata della funzione composta f(g(x)) si calcola con:
💡Spiegazione
La regola della catena (chain rule) per la derivata della funzione composta afferma: [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x). Si deriva la funzione esterna calcolata sulla funzione interna, moltiplicata per la derivata della funzione interna.
8. L'integrale definito ∫₀² x² dx vale:
💡Spiegazione
La primitiva di x² è x³/3. Per il Teorema Fondamentale del Calcolo: ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 - 0 = 8/3. L'integrale definito rappresenta l'area (con segno) della regione tra la curva y = x² e l'asse x nell'intervallo [0, 2].
9. Qual è il limite di (sin x)/x per x che tende a 0?
💡Spiegazione
Il limite notevole lim(x→0) sin(x)/x = 1 è uno dei limiti fondamentali dell'analisi matematica. Può essere dimostrato geometricamente usando il confronto tra aree di settori circolari e triangoli. È alla base del calcolo della derivata di sin(x).
10. Qual è la derivata di f(x) = x³?
💡Spiegazione
Applicando la regola di derivazione delle potenze: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹, si ottiene d/dx(x³) = 3x². Questa regola vale per qualsiasi esponente reale n.
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