1. Come si sviluppa il prodotto notevole (a + b)²?
💡Spiegazione
Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto dei due termini, più il quadrato del secondo termine: (a + b)² = a² + 2ab + b².
2. Quale dei seguenti è un esempio di insieme vuoto?
💡Spiegazione
L'insieme dei numeri naturali minori di 0 è vuoto perché i numeri naturali partono da 0 (o da 1, a seconda della convenzione) e non esistono numeri naturali negativi.
3. Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {x ∈ A | x è pari}, qual è l'insieme complementare di B rispetto ad A?
💡Spiegazione
B = {2, 4} contiene gli elementi pari di A. Il complementare di B rispetto ad A contiene tutti gli elementi di A che non appartengono a B, cioè {1, 3, 5}.
4. Se l'insieme A ha 3 elementi e l'insieme B ha 4 elementi, quanti elementi ha al massimo A ∩ B?
💡Spiegazione
L'intersezione A ∩ B contiene gli elementi comuni ai due insiemi. Al massimo, tutti gli elementi di A possono appartenere anche a B (quando A ⊆ B), quindi A ∩ B può avere al massimo 3 elementi, cioè il numero di elementi dell'insieme più piccolo.
5. Qual è il risultato dell'operazione A ∪ B se A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}?
💡Spiegazione
L'unione di due insiemi contiene tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi. Gli elementi comuni (in questo caso il 3) vengono contati una sola volta. Quindi A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
6. Qual è il risultato della divisione tra i polinomi (x² - 9) : (x + 3)?
💡Spiegazione
Il polinomio x² - 9 è una differenza di quadrati che si fattorizza come (x + 3)(x - 3). Dividendo per (x + 3) si ottiene (x - 3).
7. Qual è il risultato della semplificazione del monomio 6x³y² · 2x²y?
💡Spiegazione
Per moltiplicare due monomi si moltiplicano i coefficienti (6 × 2 = 12) e si sommano gli esponenti delle stesse variabili: x³⁺² = x⁵ e y²⁺¹ = y³. Il risultato è 12x⁵y³.
8. Il minimo comune multiplo (mcm) di 8 e 12 è:
💡Spiegazione
Scomponendo in fattori primi: 8 = 2³ e 12 = 2² × 3. Il mcm si ottiene prendendo tutti i fattori con il massimo esponente: 2³ × 3 = 24.
9. Quale delle seguenti espressioni rappresenta la differenza di due quadrati?
💡Spiegazione
La differenza di due quadrati a² - b² si fattorizza come (a + b)(a - b). Questo è uno dei prodotti notevoli fondamentali dell'algebra.
10. Quale proprietà delle potenze è espressa dalla formula aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ?
💡Spiegazione
Quando si moltiplicano due potenze con la stessa base, si mantiene la base e si sommano gli esponenti. Questa è la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base.
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