1. L'equazione dell'ellisse con centro nell'origine e semiassi a e b è:
💡Spiegazione
L'equazione canonica dell'ellisse con centro nell'origine è x²/a² + y²/b² = 1, dove a e b sono i semiassi. Se a > b, l'asse maggiore è orizzontale; se b > a, è verticale. Per a = b si ottiene una circonferenza.
2. Quale equazione rappresenta una parabola con asse di simmetria orizzontale?
💡Spiegazione
Una parabola con asse di simmetria orizzontale (parallelo all'asse x) ha equazione della forma x = ay² + by + c, dove la variabile indipendente è y. La parabola classica y = ax² + bx + c ha asse di simmetria verticale.
3. La funzione esponenziale f(x) = eˣ ha quale proprietà fondamentale?
💡Spiegazione
La funzione esponenziale f(x) = eˣ è l'unica funzione (a meno di costanti moltiplicative) la cui derivata è uguale a se stessa: d/dx(eˣ) = eˣ. Passa per il punto (0, 1), è sempre positiva, strettamente crescente e non è periodica.
4. Qual è il valore di cos(60°)?
💡Spiegazione
Il coseno di 60° (π/3 radianti) vale 1/2. Si noti che cos(60°) = sin(30°) = 1/2. Questa relazione è dovuta alla complementarità: sin(α) = cos(90° - α).
5. In quale quadrante il seno è positivo e il coseno è negativo?
💡Spiegazione
Nel secondo quadrante (90° < α < 180°) il seno è positivo (le ordinate sono positive) e il coseno è negativo (le ascisse sono negative). Schema: I quadrante: sin+ cos+; II: sin+ cos-; III: sin- cos-; IV: sin- cos+.
6. Un numero complesso z = a + bi ha parte reale a e parte immaginaria b. Qual è il modulo di z = 3 + 4i?
💡Spiegazione
Il modulo di un numero complesso z = a + bi è |z| = √(a² + b²). Per z = 3 + 4i: |z| = √(9 + 16) = √25 = 5. Il modulo rappresenta la distanza del punto (a, b) dall'origine nel piano di Gauss.
7. Nel piano cartesiano, l'equazione x² + y² = 25 rappresenta:
💡Spiegazione
L'equazione x² + y² = 25 = 5² è l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine O(0,0) e raggio r = 5. L'equazione generale della circonferenza con centro nell'origine è x² + y² = r².
8. L'equazione x²/9 - y²/4 = 1 rappresenta:
💡Spiegazione
L'equazione x²/a² - y²/b² = 1 è l'equazione canonica di un'iperbole con asse trasverso sull'asse x. I segni opposti (+ e -) distinguono l'iperbole dall'ellisse. In questo caso a² = 9 (a = 3) e b² = 4 (b = 2).
9. L'identità fondamentale della trigonometria afferma che:
💡Spiegazione
L'identità fondamentale della trigonometria è sin²α + cos²α = 1, valida per qualsiasi angolo α. Deriva dal teorema di Pitagora applicato al cerchio trigonometrico di raggio 1: il cateto orizzontale è cosα, quello verticale sinα, e l'ipotenusa è 1.
10. Qual è il periodo della funzione y = sin(x)?
💡Spiegazione
La funzione seno ha periodo 2π (360°): dopo un intervallo di 2π la funzione ripete gli stessi valori. sin(x + 2π) = sin(x) per ogni x. La funzione tangente, invece, ha periodo π.
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