La primitiva di x² è x³/3. Per il Teorema Fondamentale del Calcolo: ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 - 0 = 8/3. L'integrale definito rappresenta l'area (con segno) della regione tra la curva y = x² e l'asse x nell'intervallo [0, 2].
2. Una funzione ha un punto di massimo relativo quando:
💡Spiegazione
Un punto x₀ è di massimo relativo quando f'(x₀) = 0 e la derivata prima cambia segno da positivo (funzione crescente) a negativo (funzione decrescente). Equivalentemente, se f'(x₀) = 0 e f''(x₀) < 0, allora x₀ è punto di massimo relativo.
3. La derivata della funzione composta f(g(x)) si calcola con:
💡Spiegazione
La regola della catena (chain rule) per la derivata della funzione composta afferma: [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x). Si deriva la funzione esterna calcolata sulla funzione interna, moltiplicata per la derivata della funzione interna.
4. Qual è la derivata di f(x) = eˣ?
💡Spiegazione
La funzione esponenziale f(x) = eˣ è l'unica funzione (a meno di costanti moltiplicative) uguale alla propria derivata: d/dx(eˣ) = eˣ. Questa proprietà rende e (numero di Nepero, e ≈ 2,718) la base 'naturale' per le funzioni esponenziali.
5. Qual è l'integrale indefinito ∫ (1/x) dx?
💡Spiegazione
L'integrale di 1/x è il logaritmo naturale del valore assoluto di x: ∫ (1/x) dx = ln|x| + C. Il valore assoluto è necessario perché il logaritmo è definito solo per argomenti positivi, mentre 1/x esiste anche per x < 0.
6. Cosa rappresenta geometricamente la derivata di una funzione in un punto?
💡Spiegazione
La derivata f'(x₀) rappresenta il coefficiente angolare (pendenza) della retta tangente al grafico della funzione nel punto (x₀, f(x₀)). Se f'(x₀) > 0, la funzione è crescente; se f'(x₀) < 0, è decrescente; se f'(x₀) = 0, il punto potrebbe essere un massimo, un minimo o un flesso.
7. Se f'(x) > 0 in un intervallo, allora la funzione f(x) in quell'intervallo è:
💡Spiegazione
Se la derivata prima f'(x) è positiva in un intervallo, significa che la retta tangente ha pendenza positiva in ogni punto, quindi la funzione è strettamente crescente in quell'intervallo. Viceversa, se f'(x) < 0, la funzione è decrescente.
8. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale stabilisce che:
💡Spiegazione
Il Teorema Fondamentale del Calcolo stabilisce il legame tra derivazione e integrazione: se F(x) è una primitiva di f(x), allora ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a). In altre parole, l'integrale definito si calcola tramite la primitiva, e derivazione e integrazione sono operazioni inverse.
9. Qual è il limite di (sin x)/x per x che tende a 0?
💡Spiegazione
Il limite notevole lim(x→0) sin(x)/x = 1 è uno dei limiti fondamentali dell'analisi matematica. Può essere dimostrato geometricamente usando il confronto tra aree di settori circolari e triangoli. È alla base del calcolo della derivata di sin(x).
10. In probabilità, se un evento ha probabilità 0,3, qual è la probabilità dell'evento complementare?
💡Spiegazione
La probabilità dell'evento complementare è: P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7. La somma delle probabilità di un evento e del suo complementare è sempre 1, poiché uno dei due si verifica sicuramente.
Quiz Completato!
0/ 10
Vuoi continuare a esercitarti?
Con gli strumenti gratuiti di Didattica.live puoi:
Creare riassunti intelligenti
Generare test personalizzati su qualsiasi argomento