1. Qual è la formula per l'integrazione per parti?
💡Spiegazione
La formula di integrazione per parti è: ∫ f(x)·g'(x) dx = f(x)·g(x) - ∫ f'(x)·g(x) dx. Deriva dalla regola del prodotto per le derivate. Si sceglie f come la funzione più facile da derivare e g' come quella più facile da integrare.
2. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale stabilisce che:
💡Spiegazione
Il Teorema Fondamentale del Calcolo stabilisce il legame tra derivazione e integrazione: se F(x) è una primitiva di f(x), allora ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a). In altre parole, l'integrale definito si calcola tramite la primitiva, e derivazione e integrazione sono operazioni inverse.
3. L'integrale definito ∫₀² x² dx vale:
💡Spiegazione
La primitiva di x² è x³/3. Per il Teorema Fondamentale del Calcolo: ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 - 0 = 8/3. L'integrale definito rappresenta l'area (con segno) della regione tra la curva y = x² e l'asse x nell'intervallo [0, 2].
4. Qual è il limite di (1 + 1/n)ⁿ per n che tende a +∞?
💡Spiegazione
Il limite notevole lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,71828... è la definizione del numero di Nepero. Questo limite è fondamentale per le funzioni esponenziali e logaritmiche e compare nella capitalizzazione continua degli interessi.
5. Qual è l'integrale indefinito ∫ (1/x) dx?
💡Spiegazione
L'integrale di 1/x è il logaritmo naturale del valore assoluto di x: ∫ (1/x) dx = ln|x| + C. Il valore assoluto è necessario perché il logaritmo è definito solo per argomenti positivi, mentre 1/x esiste anche per x < 0.
6. Quale forma indeterminata si presenta nel limite lim(x→∞) x/eˣ?
💡Spiegazione
Per x→∞, sia x che eˣ tendono a infinito, quindi si presenta la forma indeterminata ∞/∞. Si risolve con il teorema di de l'Hôpital: lim(x→∞) x/eˣ = lim(x→∞) 1/eˣ = 0. L'esponenziale cresce molto più velocemente della funzione lineare.
7. Un punto di flesso è un punto in cui:
💡Spiegazione
Un punto di flesso è un punto in cui la curva cambia concavità: da concava verso l'alto (convessa) a concava verso il basso (concava), o viceversa. Analiticamente, si verifica quando la derivata seconda f''(x) cambia segno. In un flesso, f''(x₀) = 0 (condizione necessaria ma non sufficiente).
8. Qual è il limite di (sin x)/x per x che tende a 0?
💡Spiegazione
Il limite notevole lim(x→0) sin(x)/x = 1 è uno dei limiti fondamentali dell'analisi matematica. Può essere dimostrato geometricamente usando il confronto tra aree di settori circolari e triangoli. È alla base del calcolo della derivata di sin(x).
9. Una funzione ha un punto di massimo relativo quando:
💡Spiegazione
Un punto x₀ è di massimo relativo quando f'(x₀) = 0 e la derivata prima cambia segno da positivo (funzione crescente) a negativo (funzione decrescente). Equivalentemente, se f'(x₀) = 0 e f''(x₀) < 0, allora x₀ è punto di massimo relativo.
10. La derivata della funzione composta f(g(x)) si calcola con:
💡Spiegazione
La regola della catena (chain rule) per la derivata della funzione composta afferma: [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x). Si deriva la funzione esterna calcolata sulla funzione interna, moltiplicata per la derivata della funzione interna.
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