1. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale stabilisce che:
💡Spiegazione
Il Teorema Fondamentale del Calcolo stabilisce il legame tra derivazione e integrazione: se F(x) è una primitiva di f(x), allora ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a). In altre parole, l'integrale definito si calcola tramite la primitiva, e derivazione e integrazione sono operazioni inverse.
2. Una funzione ha un punto di massimo relativo quando:
💡Spiegazione
Un punto x₀ è di massimo relativo quando f'(x₀) = 0 e la derivata prima cambia segno da positivo (funzione crescente) a negativo (funzione decrescente). Equivalentemente, se f'(x₀) = 0 e f''(x₀) < 0, allora x₀ è punto di massimo relativo.
3. Cosa rappresenta geometricamente la derivata di una funzione in un punto?
💡Spiegazione
La derivata f'(x₀) rappresenta il coefficiente angolare (pendenza) della retta tangente al grafico della funzione nel punto (x₀, f(x₀)). Se f'(x₀) > 0, la funzione è crescente; se f'(x₀) < 0, è decrescente; se f'(x₀) = 0, il punto potrebbe essere un massimo, un minimo o un flesso.
4. Qual è la derivata di f(x) = eˣ?
💡Spiegazione
La funzione esponenziale f(x) = eˣ è l'unica funzione (a meno di costanti moltiplicative) uguale alla propria derivata: d/dx(eˣ) = eˣ. Questa proprietà rende e (numero di Nepero, e ≈ 2,718) la base 'naturale' per le funzioni esponenziali.
5. Qual è il limite di (1 + 1/n)ⁿ per n che tende a +∞?
💡Spiegazione
Il limite notevole lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,71828... è la definizione del numero di Nepero. Questo limite è fondamentale per le funzioni esponenziali e logaritmiche e compare nella capitalizzazione continua degli interessi.
6. Qual è la formula per l'integrazione per parti?
💡Spiegazione
La formula di integrazione per parti è: ∫ f(x)·g'(x) dx = f(x)·g(x) - ∫ f'(x)·g(x) dx. Deriva dalla regola del prodotto per le derivate. Si sceglie f come la funzione più facile da derivare e g' come quella più facile da integrare.
7. Qual è la derivata di f(x) = x³?
💡Spiegazione
Applicando la regola di derivazione delle potenze: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹, si ottiene d/dx(x³) = 3x². Questa regola vale per qualsiasi esponente reale n.
8. Se f'(x) > 0 in un intervallo, allora la funzione f(x) in quell'intervallo è:
💡Spiegazione
Se la derivata prima f'(x) è positiva in un intervallo, significa che la retta tangente ha pendenza positiva in ogni punto, quindi la funzione è strettamente crescente in quell'intervallo. Viceversa, se f'(x) < 0, la funzione è decrescente.
9. La derivata della funzione composta f(g(x)) si calcola con:
💡Spiegazione
La regola della catena (chain rule) per la derivata della funzione composta afferma: [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x). Si deriva la funzione esterna calcolata sulla funzione interna, moltiplicata per la derivata della funzione interna.
10. In probabilità, se un evento ha probabilità 0,3, qual è la probabilità dell'evento complementare?
💡Spiegazione
La probabilità dell'evento complementare è: P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7. La somma delle probabilità di un evento e del suo complementare è sempre 1, poiché uno dei due si verifica sicuramente.
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