Matematica di base: esercizi

Numeri e operazioni

Frazioni, potenze, radici, valore assoluto e ordini di grandezza. Scomposizione in fattori primi, massimo comun divisore e minimo comune multiplo, numeri razionali e irrazionali.

Ripasso in breve

Le frazioni si sommano e si sottraggono soltanto dopo averle portate allo stesso denominatore: sommare separatamente numeratori e denominatori è l'errore più comune. Nelle espressioni si calcolano prima potenze e radici, poi moltiplicazioni e divisioni, infine somme e sottrazioni; un valore assoluto si calcola per primo, come una parentesi.

Per le potenze con la stessa base gli esponenti si sommano nel prodotto, si sottraggono nel quoziente e si moltiplicano nella potenza di potenza; confondere queste tre regole porta a risultati vicini ma sbagliati. Una radice si semplifica portando fuori i quadrati perfetti, per esempio √50 = 5√2, e si possono sommare soltanto radicali simili: la radice di una somma non è la somma delle radici.

La scomposizione in fattori primi dà il massimo comun divisore (fattori comuni con l'esponente minore) e il minimo comune multiplo (tutti i fattori con l'esponente maggiore); nei problemi su eventi che si ripetono serve quasi sempre il secondo. Sono razionali le frazioni, i decimali finiti e quelli periodici; sono irrazionali π e le radici quadrate dei numeri interi che non sono quadrati perfetti (√2, √3, √50…).

Nei problemi sugli ordini di grandezza l'insidia è l'equivalenza fra unità di misura, da fare prima del calcolo.

1. 1. Due campanili suonano insieme alle 8:00. Il primo suona ogni 12 minuti, il secondo ogni 18 minuti. A che ora suonano di nuovo insieme per la prima volta?

   1. A8:06
   2. B8:18
   3. C8:30
   4. D8:36
   5. E11:36
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: D

   Serve il minimo comune multiplo di 12 e 18. Poiché 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3², il mcm è 2² × 3² = 36: i campanili suonano insieme dopo 36 minuti, alle 8:36. L'errore più insidioso è 8:06, che usa il massimo comun divisore (6) al posto del mcm. 8:30 somma i due intervalli; 11:36 usa il prodotto 12 × 18 = 216 minuti, che è un multiplo comune ma non il più piccolo; alle 8:18 suona soltanto il secondo.

2. 2. Quanto vale |3 − 7| − |−2| × |1 − 4|?

   1. A−10
   2. B−2
   3. C2
   4. D6
   5. E10
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: B

   I valori assoluti valgono |3 − 7| = 4, |−2| = 2 e |1 − 4| = 3. La moltiplicazione ha la precedenza sulla sottrazione: 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2. Il distrattore più insidioso è 6, che esegue prima la sottrazione: (4 − 2) × 3. Il valore 10 nasce dal credere che con i valori assoluti ogni segno meno sparisca (4 + 6); 2 è il risultato con il segno sbagliato; −10 si ottiene ignorando del tutto i valori assoluti.

3. Anche nella simulazione 1

   3. Quanto vale (2³)² × 2⁴ ÷ 2⁷?

   1. A3
   2. B4
   3. C6
   4. D8
   5. E64
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: D

   Nella potenza di potenza gli esponenti si moltiplicano: (2³)² = 2⁶. Nel prodotto si sommano: 2⁶ × 2⁴ = 2¹⁰. Nel quoziente si sottraggono: 2¹⁰ ÷ 2⁷ = 2³ = 8. L'errore più insidioso è 4: si ottiene sommando gli esponenti della potenza di potenza (2⁵ al posto di 2⁶). Chi calcola 3² = 9 arriva a 2⁶ = 64; 3 è l'esponente finale e non il risultato; 6 legge 2³ come 2 × 3.

4. Anche nella simulazione 1

   4. Quale dei seguenti numeri è irrazionale?

   1. A√12
   2. B√(9/16)
   3. C√1,44
   4. D22/7
   5. E0,121212… (periodico)
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: A

   √12 = 2√3, e √3 non si può scrivere come frazione perché 3 non è un quadrato perfetto: √12 è irrazionale. Gli altri numeri sono razionali: √(9/16) = 3/4, √1,44 = 1,2, un decimale periodico è sempre una frazione (0,1212… = 12/99 = 4/33) e 22/7 è già una frazione. L'errore tipico è scegliere 22/7 perché è l'approssimazione più nota di π, oppure credere che ogni radice e ogni numero con infinite cifre decimali sia irrazionale.

Percentuali e proporzioni

Calcolo di percentuali, aumenti e sconti successivi, ricerca del valore iniziale. Proporzionalità diretta e inversa, media semplice e media pesata.

Ripasso in breve

Una percentuale è sempre riferita a una base, e riconoscere la base giusta è la parte più delicata. Aumentare del 20% significa moltiplicare per 1,20, scontare del 20% moltiplicare per 0,80; due variazioni successive si compongono moltiplicando i fattori e non sommando le percentuali, perché la seconda si applica a un valore già cambiato.

Per lo stesso motivo un aumento e una diminuzione della stessa percentuale non si annullano. Quando è noto il prezzo dopo lo sconto, il prezzo iniziale si trova dividendo per il fattore, non aggiungendo la percentuale al prezzo scontato. Due grandezze sono direttamente proporzionali quando resta costante il loro rapporto, inversamente proporzionali quando resta costante il prodotto: più righe per pagina significano meno pagine.

Prima di impostare una proporzione conviene chiedersi se il risultato deve crescere o diminuire. La media aritmetica è la somma divisa per il numero dei dati; quando i gruppi hanno numerosità o pesi diversi serve la media pesata, mentre la media delle medie dà un risultato sbagliato.

Nei problemi con più gruppi è comodo ragionare su cento unità e contare quante ne finiscono in ciascun gruppo.

1. 5. Dopo uno sconto del 20%, un paio di scarpe costa 96 €. Qual era il prezzo prima dello sconto?

   1. A76,80 €
   2. B115,20 €
   3. C116 €
   4. D120 €
   5. E480 €
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: D

   Dopo lo sconto si paga l'80% del prezzo iniziale: 0,80 × prezzo = 96 €, quindi prezzo = 96 ÷ 0,8 = 120 €. Controllo: il 20% di 120 € è 24 € e 120 − 24 = 96. L'errore più insidioso è 115,20 €: aggiungere a 96 € il suo 20%, calcolando la percentuale sul prezzo scontato invece che su quello iniziale. 116 € somma 20 euro invece del 20%; 480 € divide per 0,2; 76,80 € applica un secondo sconto.

2. 6. Un testo occupa 60 pagine se ogni pagina contiene 40 righe. Quante pagine occupa lo stesso testo se ogni pagina contiene 50 righe?

   1. A45
   2. B48
   3. C50
   4. D70
   5. E75
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: B

   Il numero totale di righe non cambia: 60 × 40 = 2.400 righe. Con 50 righe per pagina servono 2.400 ÷ 50 = 48 pagine: righe per pagina e numero di pagine sono inversamente proporzionali. L'errore più sottile è 45: le righe aumentano del 25%, ma le pagine non diminuiscono del 25%, bensì del 20% (60 ÷ 1,25 = 48). 75 nasce dalla proporzione diretta (60 × 50 ÷ 40); 50 e 70 tolgono o aggiungono 10 pagine perché le righe in più sono 10.

3. 7. Il prezzo di un carburante aumenta del 25%. Di quale percentuale deve ridurre i litri acquistati un automobilista che vuole spendere esattamente come prima?

   1. A12,5%
   2. B20%
   3. C25%
   4. D75%
   5. E80%
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: B

   La spesa è prezzo × litri. Se il prezzo diventa 1,25 volte quello di prima, i litri devono diventare 1 ÷ 1,25 = 0,8 volte quelli di prima: la riduzione è del 20%. Esempio: a 2 € al litro con 100 € si comprano 50 L; a 2,50 € al litro se ne comprano 40, cioè 10 in meno su 50. L'errore tipico è rispondere 25%, come se aumento e riduzione si compensassero con la stessa percentuale. 80% è la quota di litri che resta, non la riduzione; 12,5% dimezza l'aumento.

4. Anche nella simulazione 1

   8. In un esame il voto finale è una media pesata: lo scritto conta per il 60% e l'orale per il 40%. Giulia prende 25 allo scritto e 30 all'orale. Qual è il suo voto finale?

   1. A27
   2. B27,5
   3. C28
   4. D30
   5. E55
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: A

   La media pesata è 25 × 0,60 + 30 × 0,40 = 15 + 12 = 27. Il distrattore più insidioso è 28, che si ottiene scambiando i pesi (25 × 0,40 + 30 × 0,60 = 10 + 18). 27,5 è la media semplice, che darebbe lo stesso peso alle due prove: il risultato deve invece stare più vicino al voto dello scritto, che pesa di più. 55 è la somma dei due voti; 30 è soltanto il voto dell'orale.

Equazioni e disequazioni

Equazioni e disequazioni di primo grado, equazioni e disequazioni di secondo grado nei casi più semplici, sistemi lineari di due equazioni. Prodotti notevoli e problemi che si traducono in un'equazione.

Ripasso in breve

Un'equazione di primo grado si risolve svolgendo le parentesi, portando le incognite da una parte e i numeri dall'altra con il segno cambiato e dividendo per il coefficiente dell'incognita. Gli errori tipici sono moltiplicare soltanto il primo termine di una parentesi e perdere un segno meno nel trasporto.

Nelle disequazioni il procedimento è lo stesso, con una regola in più: quando si moltiplica o si divide per un numero negativo il verso si inverte. Un'equazione di secondo grado si risolve con la formula del discriminante oppure cercando due numeri di cui sono noti la somma e il prodotto.

Una disequazione di secondo grado si studia a partire dalle radici: se il coefficiente di x² è positivo e le radici sono due, l'espressione è negativa fra le radici e positiva all'esterno; se il discriminante è negativo l'espressione è positiva per ogni x, se è nullo si annulla solo nella radice doppia, e non è lecito dividere per x, il cui segno non è noto.

Un sistema lineare si risolve per sostituzione oppure per riduzione: si moltiplicano le equazioni per numeri che rendano opposti i coefficienti di un'incognita e poi si sommano membro a membro. Nei problemi il passaggio decisivo è scegliere l'incognita e tradurre il testo in un'equazione; alla fine occorre rileggere la domanda, che spesso chiede una quantità diversa dall'incognita trovata, e verificare il risultato sostituendolo nel testo.

1. 9. Qual è la soluzione dell'equazione 3(x − 2) = 5x + 4?

   1. Ax = −5
   2. Bx = −3
   3. Cx = 1
   4. Dx = 5/4
   5. Ex = 5
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: A

   Si svolge la parentesi: 3x − 6 = 5x + 4. Portando le x a sinistra e i numeri a destra: 3x − 5x = 4 + 6, cioè −2x = 10, da cui x = −5. Verifica: 3 × (−5 − 2) = −21 e 5 × (−5) + 4 = −21. L'errore più insidioso è x = 5, che perde il segno meno nella divisione finale. x = −3 si ottiene moltiplicando per 3 soltanto la x e non il −2; x = 1 e x = 5/4 nascono da un segno sbagliato nel trasporto dei termini.

2. 10. Per quali valori di x è verificata la disequazione x² − 4x < 0?

   1. Ax < 4
   2. Bx < 0 oppure x > 4
   3. C−2 < x < 2
   4. D0 < x < 4
   5. Ex > 4
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: D

   Si scompone: x(x − 4) < 0. Il prodotto è negativo quando i due fattori hanno segno diverso, cioè per x compreso fra le radici 0 e 4: 0 < x < 4. Controllo: per x = 1 si ha 1 − 4 = −3 < 0; per x = −1 si ha 1 + 4 = 5, che non è negativo. L'errore tipico è «x < 4»: si divide per x senza considerare che x può essere negativo o nullo. «x < 0 oppure x > 4» risolve la disequazione con il verso opposto; «−2 < x < 2» risolve x² < 4.

3. 11. Un teatro vende biglietti interi a 12 € e ridotti a 8 €. In una serata vende 150 biglietti e incassa 1.560 €. Quanti biglietti ridotti ha venduto?

   1. A20
   2. B60
   3. C75
   4. D90
   5. E130
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: B

   Detto r il numero dei ridotti, gli interi sono 150 − r. L'incasso è 12 × (150 − r) + 8r = 1.560, cioè 1.800 − 4r = 1.560, da cui 4r = 240 e r = 60. Verifica: 60 × 8 + 90 × 12 = 480 + 1.080 = 1.560 €. Il distrattore più insidioso è 90, il numero dei biglietti interi: si risolve bene il problema ma si risponde con l'altra incognita. 130 è 1.560 ÷ 12 e 20 è ciò che manca per arrivare a 150; 75 divide a metà i biglietti.

4. Anche nella simulazione 1

   12. Qual è l'insieme delle soluzioni della disequazione 7 − 2x > 1?

   1. Ax > 3
   2. Bx < 3
   3. Cx > −3
   4. Dx < −3
   5. Ex < 4
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: B

   Si sottrae 7 ai due membri: −2x > −6. Dividendo per −2, che è negativo, il verso della disuguaglianza si inverte: x < 3. Controllo con x = 0: 7 − 0 = 7 > 1, vero; con x = 5: 7 − 10 = −3, che non è maggiore di 1. L'errore tipico è x > 3, cioè dimenticare di invertire il verso quando si divide per un numero negativo. Le risposte con −3 sbagliano un segno; x < 4 nasce dal sommare 1 a 7 invece di sottrarre.

Geometria

Perimetri e aree delle figure piane, teorema di Pitagora, angoli dei poligoni e similitudine. Piano cartesiano: distanza fra due punti, equazione della retta, rette parallele e perpendicolari.

Ripasso in breve

Il teorema di Pitagora lega i lati del triangolo rettangolo: il quadrato dell'ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti, e terne come 3, 4, 5 con i loro multipli evitano molti calcoli. La somma degli angoli interni di un poligono con n lati è (n − 2) × 180°; l'angolo esterno di un poligono regolare misura 360° diviso n e non va confuso con quello interno.

Per il cerchio la circonferenza è 2πr e l'area πr²: l'errore più comune è usare il diametro al posto del raggio. In due figure simili i lati corrispondenti sono in proporzione, i perimetri stanno nello stesso rapporto dei lati e le aree nel quadrato di quel rapporto. Nel piano cartesiano la distanza fra due punti si ottiene con il teorema di Pitagora applicato alle differenze delle coordinate, facendo attenzione ai segni, e il punto medio di un segmento ha per coordinate le medie delle coordinate degli estremi.

Il coefficiente angolare di una retta è il rapporto fra la differenza delle ordinate e quella delle ascisse di due suoi punti; rette parallele hanno lo stesso coefficiente, rette perpendicolari coefficienti il cui prodotto è −1. Lunghezze e aree hanno unità di misura diverse.

1. 13. Quanto misura ciascun angolo interno di un pentagono regolare?

   1. A36°
   2. B60°
   3. C72°
   4. D90°
   5. E108°
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: E

   La somma degli angoli interni di un poligono con n lati è (n − 2) × 180°: per il pentagono 3 × 180° = 540°. Il pentagono regolare ha cinque angoli uguali, quindi ciascuno misura 540° ÷ 5 = 108°. L'errore più insidioso è 72°, cioè 360° ÷ 5: è l'ampiezza dell'angolo esterno (e dell'angolo al centro), non di quello interno. 36° è 180° ÷ 5; 60° e 90° sono gli angoli del triangolo equilatero e del quadrato.

2. 14. Un rettangolo ha il perimetro di 36 cm e la base lunga il doppio dell'altezza. Qual è la sua area?

   1. A72 cm²
   2. B81 cm²
   3. C108 cm²
   4. D144 cm²
   5. E288 cm²
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: A

   Detta h l'altezza, la base è 2h e il perimetro è 2 × (2h + h) = 6h = 36 cm: quindi h = 6 cm e la base misura 12 cm. L'area è 12 × 6 = 72 cm². L'errore più insidioso è 288 cm²: si scrive base + altezza = 36 cm, dimenticando che il perimetro conta ogni lato due volte, e si trovano h = 12 cm e base 24 cm. 81 cm² è l'area del quadrato con lo stesso perimetro; 144 cm² è il quadrato della base; 108 cm² moltiplica l'altezza per il semiperimetro.

3. Anche nella simulazione 1

   15. Una circonferenza è lunga 10π cm. Qual è l'area del cerchio che essa racchiude?

   1. A5π cm²
   2. B10π cm²
   3. C25π cm²
   4. D50π cm²
   5. E100π cm²
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: C

   La lunghezza della circonferenza è 2πr = 10π cm, quindi il raggio è r = 5 cm. L'area è πr² = 25π cm². L'errore più insidioso è 100π cm², che usa 10 cm come raggio: 10 cm è il diametro. 50π cm² raddoppia l'area, come se la formula fosse 2πr²; 10π ripete la misura della circonferenza; 5π si ferma a π × r.

4. Anche nella simulazione 1

   16. Nel piano cartesiano sono dati i punti A(−2; 1) e B(4; 9). Quanto misura il segmento AB?

   1. A2
   2. B√28
   3. C√68
   4. D10
   5. E14
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: D

   La distanza fra due punti si calcola con il teorema di Pitagora applicato alle differenze delle coordinate. Differenza delle ascisse: 4 − (−2) = 6. Differenza delle ordinate: 9 − 1 = 8. Quindi AB = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. L'errore più insidioso è √68: si calcola 4 − 2 = 2 invece di 4 − (−2) = 6, sbagliando il segno dell'ascissa di A. 14 somma le due differenze senza elevarle al quadrato; √28 sottrae i quadrati invece di sommarli; 2 è la differenza fra 8 e 6.

Funzioni e grafici

Dominio, lettura di tabelle di valori, funzioni lineari e quadratiche. Composizione di funzioni, funzione inversa e primi elementi su esponenziali e logaritmi.

Ripasso in breve

Una funzione associa a ogni valore della variabile un solo risultato. Il dominio è l'insieme dei valori per cui il calcolo è possibile: un denominatore non può annullarsi e il radicando di una radice quadrata non può essere negativo, e quando compaiono entrambi le due condizioni valgono insieme.

Una funzione lineare varia di una quantità costante (aumenta o diminuisce, secondo il segno della pendenza) a ogni aumento unitario della variabile: da una tabella di valori si ricavano la pendenza e il valore assunto in zero, e soltanto se quest'ultimo è nullo si ha una proporzionalità diretta.

Una formula descrive una tabella soltanto se ne riproduce tutti i valori, non i primi due. Il grafico di una funzione quadratica è una parabola, con il minimo (se il coefficiente di x² è positivo) o il massimo (se è negativo) nel vertice, la cui ascissa è −b/(2a): il valore minimo è quello che la funzione assume nel vertice, non l'ascissa.

Nella composizione si applica prima la funzione più interna, e scambiando l'ordine si ottiene in generale una funzione diversa; la funzione inversa si ottiene ricavando la variabile ed è cosa diversa dal reciproco. Una grandezza che raddoppia a intervalli regolari cresce in modo esponenziale, e il logaritmo in una certa base è l'esponente da dare alla base per ottenere il numero.

1. 17. Una funzione lineare assume questi valori: per x = 0 vale 3; per x = 2 vale 7; per x = 5 vale 13. Quanto vale per x = 10?

   1. A16
   2. B20
   3. C23
   4. D26
   5. E30
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: C

   Quando x passa da 0 a 2 la funzione cresce di 4, cioè di 2 per ogni unità: la pendenza è 2 e il valore iniziale è 3, quindi f(x) = 2x + 3 (controllo: f(5) = 13). Allora f(10) = 20 + 3 = 23. L'errore tipico è 26: raddoppiare il valore assunto per x = 5, come se la funzione fosse una proporzionalità diretta; non lo è, perché per x = 0 non vale 0. 20 dimentica il termine +3; 30 moltiplica per 3; 16 aggiunge 3 al valore assunto in 5.

2. 18. Sono date le funzioni f(x) = 2x + 1 e g(x) = x². Quanto vale f(g(3))?

   1. A19
   2. B37
   3. C49
   4. D63
   5. E81
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: A

   Si parte dalla funzione più interna: g(3) = 3² = 9. Poi si applica f al risultato: f(9) = 2 × 9 + 1 = 19. L'errore più insidioso è 49, che è g(f(3)): si applica prima f, con f(3) = 7, e poi g, con 7² = 49; nella composizione l'ordine conta. 63 è il prodotto f(3) × g(3) = 7 × 9; 37 calcola (2 × 3)² + 1; 81 applica g due volte.

3. Anche nella simulazione 1

   19. Una coltura di batteri raddoppia ogni 3 ore. Se all'inizio ci sono 500 batteri, quanti ce ne sono dopo 12 ore?

   1. A1.000
   2. B2.000
   3. C4.000
   4. D6.000
   5. E8.000
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: E

   In 12 ore ci sono 12 ÷ 3 = 4 raddoppi. Il numero di batteri diventa 500 × 2⁴ = 500 × 16 = 8.000 (500 → 1.000 → 2.000 → 4.000 → 8.000). L'errore tipico è 4.000: moltiplicare per 2 × 4 = 8 invece che per 2⁴ = 16, trattando una crescita esponenziale come se fosse lineare. 6.000 moltiplica per le 12 ore; 2.000 moltiplica per il numero dei raddoppi; 1.000 considera un solo raddoppio.

4. Anche nella simulazione 1

   20. Qual è il dominio della funzione f(x) = √(x − 2)/(x − 5), che ha √(x − 2) al numeratore e x − 5 al denominatore?

   1. Ax ≥ 2
   2. Bx ≥ 2 e x ≠ 5
   3. Cx > 2 e x ≠ 5
   4. Dx ≠ 5
   5. Ex > 5
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: B

   Servono due condizioni. Il radicando non può essere negativo: x − 2 ≥ 0, cioè x ≥ 2 (il valore 2 è ammesso, perché √0 = 0). Il denominatore non può annullarsi: x − 5 ≠ 0, cioè x ≠ 5. Il dominio è formato dai numeri x ≥ 2 diversi da 5. L'errore tipico è considerare una sola condizione: «x ≥ 2» dimentica il denominatore e «x ≠ 5» dimentica la radice. «x > 2 e x ≠ 5» esclude senza motivo x = 2, dove la funzione vale 0; «x > 5» esclude anche i valori fra 2 e 5, per i quali la funzione esiste.

Insiemi e calcolo letterale

Operazioni fra insiemi (unione, intersezione, differenza, complementare), sottoinsiemi e numero di elementi. Monomi e polinomi, prodotti notevoli, scomposizione in fattori e semplificazione di frazioni algebriche.

Ripasso in breve

L'unione di due insiemi contiene gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due, l'intersezione quelli comuni, la differenza A − B gli elementi di A che non stanno in B; il complementare di un insieme raccoglie gli elementi dell'universo che non gli appartengono. La differenza non è commutativa, e scambiare A − B con B − A è l'errore più frequente.

Per contare gli elementi dell'unione si sommano quelli dei due insiemi e si toglie una volta l'intersezione, altrimenti contata due volte. Un insieme con n elementi ha 2 elevato a n sottoinsiemi, compresi l'insieme vuoto e l'insieme stesso. Nel calcolo letterale si sommano soltanto i monomi simili, mentre nel prodotto i coefficienti si moltiplicano e gli esponenti della stessa lettera si sommano.

Un segno meno davanti a una parentesi cambia il segno di tutti i suoi termini. I prodotti notevoli da riconoscere sono il quadrato del binomio, che contiene anche il doppio prodotto, e la differenza di quadrati. Scomporre significa riscrivere un polinomio come prodotto, raccogliendo un fattore comune, riconoscendo un prodotto notevole (differenza di quadrati, quadrato di binomio) o cercando due numeri di cui sono noti somma e prodotto.

Una frazione algebrica si semplifica soltanto dopo la scomposizione, eliminando fattori comuni e mai singoli addendi, e vale soltanto per i valori che non annullano il denominatore di partenza.

1. 21. Quale espressione si ottiene semplificando 3x(x − 2) − (x² − 6x + 1)?

   1. A2x² + 1
   2. B2x² − 12x − 1
   3. C2x² − 12x + 1
   4. D2x² − 1
   5. E4x² − 1
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: D

   Si svolge il primo prodotto: 3x(x − 2) = 3x² − 6x. Il segno meno davanti alla parentesi cambia il segno di tutti i suoi termini: −(x² − 6x + 1) = −x² + 6x − 1. Sommando i termini simili: 3x² − x² = 2x², i termini −6x e +6x si annullano e resta −1: il risultato è 2x² − 1. Controllo con x = 1: l'espressione vale −3 − (−4) = 1 e 2 − 1 = 1. L'errore tipico è «2x² − 12x + 1», che cambia il segno soltanto al primo termine della parentesi; le altre risposte sbagliano il segno di un termine solo.

2. 22. Qual è la scomposizione in fattori del polinomio x² − x − 12?

   1. A(x − 4)(x + 3)
   2. B(x + 4)(x − 3)
   3. C(x − 4)(x − 3)
   4. D(x − 6)(x + 2)
   5. E(x − 12)(x + 1)
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: A

   Si cercano due numeri con somma −1, il coefficiente di x, e prodotto −12, il termine noto: sono −4 e +3. Quindi x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3). Controllo, svolgendo il prodotto: x² + 3x − 4x − 12 = x² − x − 12. L'errore più insidioso è (x + 4)(x − 3), con i segni scambiati: il prodotto è ancora −12, ma la somma diventa +1 e si ottiene x² + x − 12. (x − 6)(x + 2) e (x − 12)(x + 1) hanno il prodotto giusto e la somma sbagliata; (x − 4)(x − 3) dà come termine noto +12.

3. Anche nella simulazione 1

   23. L'insieme A ha 12 elementi, l'insieme B ne ha 9 e la loro intersezione ne ha 4. Quanti elementi ha l'unione A ∪ B?

   1. A8
   2. B13
   3. C17
   4. D21
   5. E25
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: C

   Nella somma 12 + 9 = 21 gli elementi comuni vengono contati due volte, una in A e una in B: vanno tolti una volta. L'unione ha 12 + 9 − 4 = 17 elementi: 8 stanno soltanto in A, 5 soltanto in B e 4 in entrambi. L'errore tipico è 21, cioè sommare senza togliere l'intersezione. 13 la toglie due volte; 25 la aggiunge invece di toglierla; 8 è il numero degli elementi che stanno soltanto in A.

4. Anche nella simulazione 1

   24. Quanti sono i sottoinsiemi dell'insieme A = {1, 2, 3, 4}, contando anche l'insieme vuoto e A stesso?

   1. A4
   2. B8
   3. C14
   4. D15
   5. E16
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: E

   Per costruire un sottoinsieme si decide, per ciascuno dei 4 elementi, se prenderlo oppure no: 2 scelte per ogni elemento, quindi 2 × 2 × 2 × 2 = 16 sottoinsiemi. Controllo: 1 vuoto, 4 con un elemento, 6 con due, 4 con tre e 1 con quattro, in tutto 16. L'errore più insidioso è 15, che dimentica l'insieme vuoto (oppure A stesso); 14 li dimentica entrambi. 8 è 4 × 2, mentre le scelte vanno moltiplicate fra loro; 4 è soltanto il numero degli elementi.