Ragionamento numerico: esercizi

Serie numeriche

Successioni di numeri di cui va scoperta la regola: serie aritmetiche e geometriche, differenze che crescono, termini che dipendono dai due precedenti. Serie intrecciate e serie con due operazioni alternate.

Ripasso in breve

Per scoprire la regola di una serie il primo passo è calcolare le differenze fra termini consecutivi. Se sono costanti la serie è aritmetica; se crescono in modo regolare, per esempio di due in due, la regola sta nelle differenze stesse. Quando i termini crescono molto in fretta conviene provare i rapporti: un rapporto costante indica una serie geometrica, e in quel caso l'errore tipico è ripetere l'ultima differenza.

Se i numeri salgono e scendono in modo alterno ci sono due possibilità: due serie intrecciate, da leggere separatamente nei posti dispari e nei posti pari, oppure due operazioni che si alternano, come moltiplicare per due e poi sottrarre due. In altre serie ogni termine è la somma dei due precedenti.

Una regola è valida soltanto se spiega tutti i passaggi dati, dal primo all'ultimo, e non solamente gli ultimi due: verificarla su ogni termine richiede pochi secondi ed evita i distrattori costruiti su regole parziali. Va poi controllato quale posto occupa il termine richiesto, perché nelle serie intrecciate o alternate la regola da applicare dipende dalla posizione, e per arrivare al termine di posto n i passaggi sono n meno uno.

1. 1. Con quale numero prosegue la successione 2, 6, 18, 54, …?

   1. A72
   2. B90
   3. C108
   4. D152
   5. E162
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: E

   Ogni termine è il triplo del precedente: 2 × 3 = 6, 6 × 3 = 18, 18 × 3 = 54. Il termine successivo è 54 × 3 = 162. L'errore tipico è cercare una regola additiva: 90 ripete l'ultima differenza (54 + 36) e 72 somma gli ultimi due termini (54 + 18), ma nessuna delle due regole spiega i primi passaggi. 108 raddoppia invece di triplicare; 152 è 54 × 3 calcolato dimenticando il riporto.

2. 2. Qual è il termine che segue nella successione 32, 48, 72, 108, 162, …?

   1. A216
   2. B243
   3. C270
   4. D324
   5. E486
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: B

   Ogni termine si ottiene dal precedente aggiungendo la sua metà, cioè moltiplicando per 3/2: 32 + 16 = 48, 48 + 24 = 72, 72 + 36 = 108, 108 + 54 = 162. Il termine successivo è 162 + 81 = 243. L'errore tipico è 216, che ripete l'ultima differenza (+54) come se la serie fosse aritmetica: le differenze invece crescono (16, 24, 36, 54, 81). 324 raddoppia l'ultimo termine e 486 lo triplica; 270 gli aggiunge 108, il termine precedente.

3. Anche nella simulazione 1

   3. Quale numero viene dopo l'ultimo nella serie 5, 20, 8, 17, 11, 14, 14, …?

   1. A8
   2. B11
   3. C14
   4. D17
   5. E23
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: B

   Sono due serie intrecciate. I termini di posto dispari crescono di 3: 5, 8, 11, 14. Quelli di posto pari diminuiscono di 3: 20, 17, 14. Il termine cercato è l'ottavo, di posto pari, quindi vale 14 − 3 = 11. L'errore più insidioso è 17: applicare all'ultimo termine la regola +3, che è quella dell'altra serie. 14 nasce dal credere che il numero si ripeta ancora; 8 sottrae 6 invece di 3; 23 aggiunge 3 al secondo termine.

4. Anche nella simulazione 1

   4. Nella serie 1, 4, 5, 9, 14, 23, … quale numero occupa il posto successivo?

   1. A27
   2. B28
   3. C32
   4. D36
   5. E37
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: E

   Dal terzo in poi ogni termine è la somma dei due che lo precedono: 1 + 4 = 5, 4 + 5 = 9, 5 + 9 = 14, 9 + 14 = 23. Il termine successivo è 14 + 23 = 37. L'errore più frequente è 32, che somma 23 con 9 invece che con 14, cioè con il termine sbagliato. 28 e 27 aggiungono a 23 un termine ancora più lontano (5 oppure 4); 36 è un errore di somma di una unità.

Problemi aritmetici

Problemi di velocità, tempo e distanza, di lavoro svolto insieme, di età, di miscele e di sconti. Si risolvono con il ragionamento più che con le formule.

Ripasso in breve

Nei problemi di movimento la distanza è il prodotto di velocità e tempo, a patto di usare unità coerenti: quaranta minuti sono due terzi di ora, non 0,4 ore. Quando un veicolo ne insegue un altro conta la differenza delle velocità, quando due veicoli si vanno incontro conta la somma.

Nei problemi di lavoro si ragiona sulla parte svolta nell'unità di tempo: chi finisce in trenta minuti svolge un trentesimo del lavoro al minuto, le frazioni si sommano e il tempo comune risulta sempre minore di quello del più veloce da solo. Se il numero di persone cambia durante il lavoro conviene misurare il lavoro in giornate di una persona.

Nei problemi di età gli anni passano per tutti allo stesso modo: le differenze restano costanti e ogni anno che passa la somma delle età cresce di tante unità quante sono le persone. In una miscela si calcola la quantità di sostanza presente in ciascun componente e si divide per la quantità totale; la media semplice delle percentuali vale soltanto con quantità uguali.

Due sconti successivi non equivalgono alla loro somma, perché il secondo si applica a un prezzo già ridotto. Una verifica finale con i numeri trovati scopre quasi tutti gli errori.

1. 5. Marta ha 8 anni più di suo fratello Luca. Fra 5 anni la somma delle loro età sarà 40. Quanti anni ha oggi Marta?

   1. A11 anni
   2. B15 anni
   3. C16 anni
   4. D19 anni
   5. E24 anni
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: D

   Fra 5 anni ciascuno dei due avrà 5 anni in più, quindi oggi la somma delle età è 40 − 10 = 30. Se Luca ha x anni, Marta ne ha x + 8: x + x + 8 = 30, da cui x = 11. Marta ha 11 + 8 = 19 anni. Verifica: fra 5 anni avranno 24 e 16 anni, in tutto 40. L'errore più insidioso è 24: si dimentica di togliere i 10 anni e si calcola (40 + 8) ÷ 2, che è l'età di Marta fra 5 anni. 11 è l'età di Luca oggi e 16 quella di Luca fra 5 anni; 15 divide a metà la somma di oggi.

2. 6. Tre imbianchini, lavorando allo stesso ritmo, tinteggiano un appartamento in 8 giorni. Dopo i primi 2 giorni uno dei tre si ammala e gli altri due finiscono il lavoro da soli. Quanti giorni dura in tutto il lavoro?

   1. A9 giorni
   2. B10 giorni
   3. C11 giorni
   4. D12 giorni
   5. E14 giorni
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: C

   Il lavoro completo vale 3 × 8 = 24 giornate di un imbianchino. Nei primi 2 giorni i tre ne svolgono 3 × 2 = 6: ne restano 18. In due servono 18 ÷ 2 = 9 giorni, e in tutto 2 + 9 = 11 giorni. L'errore più insidioso è 9: è la durata della sola seconda fase, mentre la domanda chiede il totale. 12 è il tempo che impiegherebbero due imbianchini fin dall'inizio (24 ÷ 2); 14 somma quei 12 giorni ai 2 già trascorsi; 10 aggiunge 2 giorni agli 8 previsti.

3. Anche nella simulazione 1

   7. Si mescolano 2 litri di una bevanda che contiene il 30% di succo di frutta con 3 litri di una bevanda che ne contiene il 50%. Qual è la percentuale di succo nella miscela?

   1. A2,1%
   2. B38%
   3. C40%
   4. D42%
   5. E80%
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: D

   Succo nella prima bevanda: 30% di 2 L = 0,6 L. Nella seconda: 50% di 3 L = 1,5 L. In tutto 2,1 L di succo su 5 L di miscela: 2,1 ÷ 5 = 0,42, cioè 42%. L'errore tipico è 40%, la media semplice delle due percentuali: sarebbe giusta soltanto con quantità uguali, mentre qui c'è più bevanda al 50% e il risultato deve stare più vicino a 50. 38% scambia le due quantità; 80% somma le percentuali; 2,1 sono i litri di succo, non una percentuale.

4. Anche nella simulazione 1

   8. Un furgone parte alle 8:00 e viaggia a 60 km/h. Un'auto parte dallo stesso punto alle 9:00 e segue lo stesso percorso a 90 km/h. A che ora l'auto raggiunge il furgone?

   1. A9:24
   2. B9:40
   3. C10:00
   4. D10:30
   5. E11:00
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: E

   Alle 9:00 il furgone ha un'ora di vantaggio, cioè 60 km. Da quel momento l'auto recupera 90 − 60 = 30 km ogni ora, quindi le servono 60 ÷ 30 = 2 ore: lo raggiunge alle 11:00. Verifica: alle 11:00 il furgone ha percorso 60 × 3 = 180 km e l'auto 90 × 2 = 180 km. L'errore più insidioso è 9:40: è il tempo che serve all'auto per coprire i 60 km di vantaggio (60 ÷ 90 di ora), ma intanto il furgone continua a muoversi. 9:24 somma le velocità, come se i veicoli si venissero incontro; 10:00 conta le 2 ore a partire dalle 8:00; 10:30 usa il rapporto fra le velocità (90 ÷ 60 = 1,5 ore).

Rapporti e ripartizioni

Divisione di una quantità in parti proporzionali, dirette e inverse, rapporti concatenati e frazioni di un totale. Scale di riduzione e tassi riferiti a mille unità o all'unità di tempo.

Ripasso in breve

Per dividere una quantità in parti proporzionali a certi numeri si sommano i numeri, si trova il valore di una parte dividendo il totale per quella somma e si moltiplica per le parti di ciascuno. Se la ripartizione è inversamente proporzionale si usano i reciproci dei numeri: a chi ha il valore più piccolo spetta la parte più grande.

Quando è nota la differenza fra due quantità che stanno in un certo rapporto, quella differenza corrisponde alla differenza delle parti e non a una parte sola. Due rapporti con un termine in comune si combinano rendendo uguale quel termine in entrambi. Se di un totale sono note alcune frazioni e il valore del resto, si calcola quale frazione rappresenta il resto e da lì si risale all'intero: le frazioni si riferiscono al totale, non al resto.

Una scala come 1 : 25.000 dice che un centimetro sulla carta vale 25.000 centimetri reali, e l'errore più frequente sta nell'equivalenza finale fra centimetri, metri e chilometri. Un tasso esprime una quantità per unità di riferimento, per esempio nati ogni mille abitanti o gocce al minuto: va controllato a quale unità è riferito e se occorre moltiplicare oppure dividere.

1. 9. In una città di 250.000 abitanti in un anno nascono 2.000 bambini. Quanti sono i nati ogni 1.000 abitanti?

   1. A0,008
   2. B0,8
   3. C8
   4. D80
   5. E125
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: C

   250.000 abitanti sono 250 gruppi da mille, e 2.000 ÷ 250 = 8: i nati sono 8 ogni 1.000 abitanti. Allo stesso risultato si arriva dal rapporto 2.000 ÷ 250.000 = 0,008 moltiplicato per 1.000. L'errore tipico è fermarsi a 0,008, il rapporto riferito a un solo abitante, oppure rispondere 0,8, che è la percentuale: i nati sono lo 0,8% della popolazione, cioè l'8 per mille. 125 capovolge la divisione: è il numero di abitanti per ogni nato.

2. 10. Un'eredità viene divisa fra tre fratelli: al primo spetta 1/3 del totale, al secondo i 2/5 del totale e al terzo il resto, che ammonta a 24.000 €. A quanto ammonta l'intera eredità?

   1. A38.400 €
   2. B41.600 €
   3. C60.000 €
   4. D72.000 €
   5. E90.000 €
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: E

   I primi due fratelli ricevono insieme 1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15 dell'eredità. Al terzo resta 1 − 11/15 = 4/15, che vale 24.000 €: un quindicesimo vale 6.000 € e l'intera eredità 15 × 6.000 = 90.000 €. Verifica: 30.000 + 36.000 + 24.000 = 90.000. L'errore più insidioso è 41.600 €: si applicano le frazioni ai 24.000 € del terzo fratello (24.000 + 8.000 + 9.600) invece che al totale. 38.400 € somma le frazioni «numeratore con numeratore» (3/8); 72.000 € suppone che al terzo spetti un terzo e 60.000 € che gli spettino i 2/5.

3. Anche nella simulazione 1

   11. Tre amici si dividono una vincita di 1.200 € in parti proporzionali alle quote giocate: 2 €, 3 € e 5 €. Quanto riceve chi ha giocato 3 €?

   1. A120 €
   2. B240 €
   3. C360 €
   4. D400 €
   5. E600 €
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: C

   Le quote sommano 2 + 3 + 5 = 10 parti, e ogni parte vale 1.200 ÷ 10 = 120 €. A chi ha giocato 3 € spettano 3 parti: 3 × 120 = 360 €. L'errore tipico è 400 €, cioè dividere la vincita in tre parti uguali ignorando le quote. 120 € è il valore di una sola parte; 240 € e 600 € sono le somme che spettano agli altri due amici.

4. Anche nella simulazione 1

   12. Un premio di 600 € viene diviso fra due squadre in parti inversamente proporzionali ai tempi impiegati in una gara: 20 minuti e 30 minuti. Quanto riceve la squadra più veloce?

   1. A120 €
   2. B200 €
   3. C240 €
   4. D300 €
   5. E360 €
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: E

   Inversamente proporzionali ai tempi 20 e 30 significa proporzionali a 1/20 e 1/30, cioè a 3 e 2 (si moltiplica per 60). Le parti sono 5 in tutto e valgono 600 ÷ 5 = 120 € l'una: alla squadra più veloce, quella dei 20 minuti, ne spettano 3, cioè 360 €. L'errore tipico è 240 €: dividere in proporzione diretta ai tempi (2 : 3), dando di meno a chi è stato più veloce. 300 € divide a metà; 200 € è un terzo del premio; 120 € è il valore di una parte.

Tabelle e dati

Lettura di piccole tabelle di dati: totali e medie, confronto fra variazioni assolute e percentuali, quote di un totale. Prezzi per unità e percentuali riferite a un sottogruppo.

Ripasso in breve

Davanti a una tabella conviene leggere prima la domanda e poi cercare soltanto i dati che servono. La media è il totale diviso per il numero dei dati; in una tabella di frequenze ogni valore va moltiplicato per il numero di casi a cui si riferisce, e il divisore è il totale dei casi, non il numero delle righe.

La variazione assoluta è la differenza fra due valori, quella percentuale è la differenza divisa per il valore di partenza: l'aumento più grande in valore assoluto spesso non è il più grande in percentuale, perché parte da una base più alta. La quota di una voce sul totale richiede di calcolare prima il totale nella stessa unità: la quota sui pezzi venduti è diversa dalla quota sull'incasso.

Per confrontare offerte di formato diverso si calcola il prezzo per unità di prodotto. Nelle tabelle a doppia entrata la stessa cifra dà percentuali diverse secondo il gruppo di riferimento: la percentuale di ciclisti fra i giovani non è la percentuale di giovani fra i ciclisti. L'errore più comune è proprio dividere per la base sbagliata, seguito dalla confusione fra il valore raggiunto e la variazione.

1. 13. Vendite di un chiosco in una giornata. Panini: 50 pezzi a 4 € l'uno; bibite: 60 pezzi a 2 € l'una; gelati: 40 pezzi a 2 € l'uno. Quale percentuale dell'incasso totale proviene dalle bibite?

   1. A30%
   2. B37,5%
   3. C40%
   4. D50%
   5. E60%
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: A

   Incassi: panini 50 × 4 = 200 €; bibite 60 × 2 = 120 €; gelati 40 × 2 = 80 €. Il totale è 400 €. Le bibite valgono 120 ÷ 400 = 0,30, cioè il 30% dell'incasso. L'errore più insidioso è 40%: è la quota delle bibite sul numero di pezzi venduti (60 su 150), non sull'incasso; le bibite costano poco e pesano di meno sugli euro che sui pezzi. 50% è la quota dei panini; 37,5% dimentica i gelati nel totale; 60 è il numero delle bibite.

2. 14. Fatturato di un'azienda, in migliaia di euro. 2021: 400; 2022: 500; 2023: 450; 2024: 550. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

   1. ADal 2021 al 2024 il fatturato è cresciuto del 37,5%
   2. BNel 2023 il fatturato è calato di oltre l'11% rispetto al 2022
   3. CNel 2022 e nel 2024 l'aumento percentuale sull'anno prima è stato lo stesso
   4. DIl fatturato medio dei quattro anni è stato di 500 mila euro
   5. ENel 2024 il fatturato è stato una volta e mezza quello del 2021
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: A

   Dal 2021 al 2024 il fatturato passa da 400 a 550: l'aumento è 150 su 400, cioè 150 ÷ 400 = 37,5%. Le altre affermazioni sono false. Nel 2023 il calo è 50 su 500, cioè il 10%: l'11% si ottiene dividendo per 450, la base sbagliata. Nel 2022 e nel 2024 l'aumento è di 100 in entrambi i casi, ma in percentuale vale 25% (100 su 400) e circa 22% (100 su 450): è il distrattore più insidioso. La media è (400 + 500 + 450 + 550) ÷ 4 = 475. Una volta e mezza il fatturato del 2021 sarebbe 600.

3. Anche nella simulazione 1

   15. Abbonati a una palestra nei primi sei mesi dell'anno. Gennaio: 200; febbraio: 245; marzo: 260; aprile: 300; maggio: 310; giugno: 350. In quale mese il numero di abbonati è aumentato di più, in valore assoluto, rispetto al mese precedente?

   1. AFebbraio
   2. BMarzo
   3. CAprile
   4. DMaggio
   5. EGiugno
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: A

   Si calcola l'aumento mese per mese: febbraio 245 − 200 = 45; marzo 260 − 245 = 15; aprile 300 − 260 = 40; maggio 310 − 300 = 10; giugno 350 − 310 = 40. L'aumento maggiore è quello di febbraio (+45). L'errore tipico è scegliere giugno, il mese con più abbonati: la domanda riguarda la variazione rispetto al mese prima, non il valore raggiunto. Aprile e giugno si fermano a +40.

4. Anche nella simulazione 1

   16. A 20 persone è stato chiesto quanti libri hanno letto nell'ultimo mese. Nessun libro: 3 persone; 1 libro: 6 persone; 2 libri: 7 persone; 3 libri: 4 persone. Quanti libri ha letto in media ciascuna persona?

   1. A1,5
   2. B1,6
   3. C2
   4. D5
   5. E32
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: B

   Si moltiplica ogni numero di libri per quante persone lo hanno indicato: 0 × 3 + 1 × 6 + 2 × 7 + 3 × 4 = 0 + 6 + 14 + 12 = 32 libri in tutto. Diviso per le 20 persone: 32 ÷ 20 = 1,6 libri. L'errore più insidioso è 1,5: è la media dei valori 0, 1, 2, 3 calcolata senza tenere conto di quante persone corrispondono a ciascuno. 2 è la moda, cioè la risposta più frequente; 5 è la media delle frequenze (20 ÷ 4); 32 è il totale dei libri.

Logica quantitativa

Insiemi e diagrammi di Venn con numeri, primi conteggi di calcolo combinatorio. Numeri che devono soddisfare più condizioni e operazioni in cui le cifre sono sostituite da lettere.

Ripasso in breve

Nei problemi con due insiemi che si sovrappongono gli elementi comuni compaiono in entrambi i conteggi: il numero di chi appartiene ad almeno un insieme è la somma dei due gruppi meno l'intersezione, e chi sta fuori da entrambi si ottiene per differenza dal totale. Un diagramma di Venn riempito a partire dalla zona comune evita di contare due volte le stesse persone.

Nel calcolo combinatorio le scelte indipendenti si moltiplicano: con due risposte possibili per ciascuna di tre domande i casi sono due per due per due. Se l'ordine non conta, come nella scelta di due persone con lo stesso ruolo, il numero delle coppie ordinate va diviso per due.

Quando si formano numeri con cifre assegnate la prima cifra non può essere zero, e occorre stabilire se le ripetizioni sono ammesse. Per trovare un numero che soddisfa più condizioni è efficace elencare i candidati che rispettano la condizione più restrittiva e controllare le altre; se è richiesto il più piccolo, la prova parte dal basso.

Nei criptaritmi a ogni lettera corrisponde una cifra: si scrive il valore posizionale, come dieci volte A più B, e si ragiona sulla cifra delle unità e sui riporti.

1. 17. In un gruppo di 40 persone, 25 parlano inglese, 18 parlano francese e 8 parlano entrambe le lingue. Quante persone non parlano nessuna delle due lingue?

   1. A3
   2. B5
   3. C7
   4. D13
   5. E14
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: B

   Chi parla almeno una lingua: 25 + 18 − 8 = 35, perché gli 8 che parlano entrambe le lingue compaiono sia fra i 25 sia fra i 18 e vanno tolti una volta. Chi non ne parla nessuna: 40 − 35 = 5. L'errore tipico è non togliere gli 8: 25 + 18 = 43 supera le 40 persone e la differenza, 3, viene scambiata per la risposta. 13 toglie gli 8 due volte (25 + 18 − 16 = 27); 7 e 14 considerano una sola delle due lingue.

2. 18. Qual è il più piccolo numero intero positivo che diviso per 3 dà resto 2 e diviso per 5 dà resto 3?

   1. A8
   2. B11
   3. C13
   4. D17
   5. E23
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: A

   I numeri che divisi per 5 danno resto 3 sono 3, 8, 13, 18, 23 e così via. Fra questi si cerca il primo che diviso per 3 dà resto 2: 3 dà resto 0, mentre 8 dà resto 2 (8 = 3 × 2 + 2). La risposta è 8. Anche 23 soddisfa tutte e due le condizioni (23 = 3 × 7 + 2 = 5 × 4 + 3), ma non è il più piccolo: è il distrattore più insidioso. 13 rispetta soltanto la condizione sul 5; 11 e 17 soltanto quella sul 3.

3. Anche nella simulazione 1

   19. In un gruppo di 6 persone si devono scegliere 2 rappresentanti con lo stesso ruolo. In quanti modi diversi si può fare la scelta?

   1. A15
   2. B30
   3. C36
   4. D64
   5. E720
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: A

   Il primo rappresentante si può scegliere in 6 modi e il secondo in 5: 6 × 5 = 30. Ma i due hanno lo stesso ruolo, quindi la coppia «Anna e Bruno» coincide con «Bruno e Anna»: ogni coppia è stata contata due volte e i modi sono 30 ÷ 2 = 15. L'errore tipico è fermarsi a 30, che sarebbe giusto con ruoli diversi (per esempio presidente e vice). 36 conta anche la stessa persona scelta due volte (6 × 6); 64 e 720 usano formule che rispondono ad altre domande (2⁶ e 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1).

4. Anche nella simulazione 1

   20. AB è un numero di due cifre e BA è il numero che si ottiene scambiandole. Si sa che AB + BA = 132 e che A − B = 4. Qual è il numero AB?

   1. A48
   2. B62
   3. C75
   4. D84
   5. E93
   Risposta e spiegazione

   Risposta giusta: D

   AB vale 10A + B e BA vale 10B + A: la somma è 11A + 11B = 11 × (A + B). Da 11 × (A + B) = 132 si ricava A + B = 12. Insieme ad A − B = 4 si ottiene A = 8 e B = 4: il numero è 84 (controllo: 84 + 48 = 132). Il distrattore più insidioso è 48, che ha le stesse cifre in ordine scambiato: lì A − B vale −4. 75 e 93 rispettano la somma ma non la differenza; 62 rispetta la differenza ma non la somma.