Aree dei poligoni e figure equivalenti

Due figure piane si dicono equivalenti, o equiestese, quando hanno la stessa estensione, cioè la stessa area, anche se hanno forme diverse. Per esempio, un rettangolo con base di 8 cm e altezza di 3 cm e un quadrato di 24 cm² di area sono equivalenti, benché non si assomiglino. Figure congruenti, cioè sovrapponibili perfettamente, sono sempre equivalenti, ma non vale il contrario. L'area si misura in unità quadrate, come il centimetro quadrato o il metro quadrato, e indica quante di queste unità servono per ricoprire la superficie.

Il punto di partenza per calcolare le aree è il rettangolo, la cui area si ottiene moltiplicando la base per l'altezza. Il quadrato è un caso particolare, e la sua area è il lato per se stesso. Il parallelogramma è equivalente a un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza, quindi la sua area è base per altezza. Si deve usare l'altezza, cioè il segmento perpendicolare alla base, e non il lato obliquo. Il rombo ha come area il prodotto delle diagonali diviso due, perché è metà del rettangolo costruito sulle sue diagonali.

Il triangolo è equivalente a metà di un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza. La sua area si calcola quindi con la formula base per altezza diviso due. Triangoli con basi e altezze uguali hanno la stessa area anche se hanno forme diverse. Il trapezio ha area uguale alla somma della base maggiore e della base minore, moltiplicata per l'altezza e divisa per due. Si può capire unendo due trapezi uguali in modo da formare un parallelogramma, la cui base è la somma delle due basi del trapezio.

Un poligono regolare ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali, come il pentagono o l'esagono regolare. In questi poligoni si chiama apotema il segmento che parte dal centro e arriva perpendicolarmente al punto medio di un lato. Dividendo il poligono in tanti triangoli uguali, con vertice nel centro, ciascuno ha per base un lato e per altezza l'apotema. Sommando le aree si ottiene la formula: area uguale al perimetro per l'apotema diviso due. Per esempio, un esagono con perimetro di 30 cm e apotema di 4,3 cm ha area di circa 64,5 cm².

Le formule inverse servono a ricavare un dato mancante quando si conosce l'area. Se l'area di un rettangolo è A e la base è b, l'altezza si trova dividendo A per b. Per il triangolo, la base è il doppio dell'area diviso l'altezza, e l'altezza è il doppio dell'area diviso la base. Nel poligono regolare l'apotema è il doppio dell'area diviso il perimetro. Per il trapezio, l'altezza è il doppio dell'area diviso la somma delle basi. Queste formule si ottengono con le operazioni inverse: se un prodotto è diviso due, si moltiplica per due, e se si moltiplica per un numero, si divide per quel numero.

Per risolvere un problema è utile disegnare la figura, scrivere i dati, scegliere la formula adatta e controllare che le unità di misura siano coerenti prima di eseguire i calcoli.