I criteri di divisibilità

Un numero è multiplo di un altro quando si ottiene moltiplicando quest'ultimo per un numero naturale. Per esempio, 24 è multiplo di 6 perché 6 per 4 fa 24. Allo stesso tempo, 6 è un divisore di 24, perché la divisione 24 diviso 6 dà un risultato intero, senza resto. I multipli di un numero sono infiniti: quelli di 5 sono 0, 5, 10, 15, 20 e così via. I divisori di un numero, invece, sono sempre in quantità limitata: i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Multiplo e divisore sono quindi due modi di guardare la stessa relazione, e un numero è divisibile per un altro quando la divisione è esatta.

I criteri di divisibilità sono regole che permettono di capire se un numero è divisibile per un altro senza eseguire la divisione. Le più semplici riguardano le ultime cifre. Un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari, cioè 0, 2, 4, 6 o 8: per questo 348 è divisibile per 2, mentre 347 no. È divisibile per 5 se finisce con 0 o con 5, come 135 e 270. È divisibile per 10 se finisce con 0, come 560. Per 4 bisogna guardare le ultime due cifre: se formano un numero divisibile per 4, o sono due zeri, allora l'intero numero è divisibile per 4. Così 316 è divisibile per 4 perché 16 lo è.

Altri criteri richiedono di sommare le cifre. Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3. Per esempio, 241 ha come somma 2 più 4 più 1, cioè 7, che non è multiplo di 3, quindi 241 non è divisibile per 3. Il numero 531 ha somma 9, quindi lo è. Il criterio del 9 è simile: un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 9. Ad esempio 729 ha somma 18, che è multiplo di 9, perciò 729 è divisibile per 9. Ogni numero divisibile per 9 lo è anche per 3, ma non vale il contrario: 12 è divisibile per 3 ma non per 9.

Il criterio dell'11 si basa su due somme. Si sommano separatamente le cifre che occupano i posti pari e quelle che occupano i posti dispari, poi si calcola la differenza tra le due somme. Se la differenza è 0 oppure un multiplo di 11, il numero è divisibile per 11. Prendiamo 2728: le cifre 2 e 2 danno 4, le cifre 7 e 8 danno 15, la differenza è 11, quindi 2728 è divisibile per 11. Anche 121 funziona: 1 più 1 fa 2, la cifra centrale è 2, la differenza è 0.

I divisori permettono anche di distinguere i numeri primi dai numeri composti. Un numero primo ha esattamente due divisori: 1 e se stesso. Sono primi 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17. Il numero 2 è l'unico primo pari. Un numero composto ha più di due divisori, come 15, divisibile per 1, 3, 5 e 15. Il numero 1 non è né primo né composto, perché ha un solo divisore. I criteri di divisibilità aiutano a riconoscere rapidamente i numeri composti e sono utili per scomporre i numeri in fattori primi, per semplificare le frazioni e per trovare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo.