Le proprietà delle potenze
Matematica · prima media · 3 minuti di lettura
Vai alle 4 domandeLa potenza è un modo breve per scrivere una moltiplicazione in cui lo stesso numero si ripete più volte. Il numero che si moltiplica si chiama base, mentre il numero piccolo scritto in alto a destra si chiama esponente e indica quante volte la base va usata come fattore. Per esempio, 2³ si legge «due alla terza» e significa 2 × 2 × 2, che dà 8. Allo stesso modo 5² vale 5 × 5, cioè 25. Attenzione a non confondere la potenza con la moltiplicazione: 2³ non è 2 × 3, che farebbe 6. Le potenze servono a scrivere in modo ordinato numeri molto grandi, come 10⁶, che vale 1 000 000, e a calcolare per esempio l'area di un quadrato o il volume di un cubo.
Quando si moltiplicano due potenze che hanno la stessa base, si lascia la base com'è e si sommano gli esponenti. Per esempio, 3² × 3⁴ significa (3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3), cioè sei fattori uguali a 3, quindi il risultato è 3⁶. La regola si scrive così: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Questa proprietà funziona soltanto se le basi sono uguali. Per esempio, 2³ × 5³ non si può scrivere sommando gli esponenti, perché le basi sono diverse.
Quando si dividono due potenze con la stessa base, si lascia la base e si sottraggono gli esponenti, cioè l'esponente del dividendo meno quello del divisore. Per esempio, 7⁵ : 7² dà 7³. Si può capire il motivo scrivendo tutti i fattori: nella frazione si possono semplificare due fattori 7 sopra con i due fattori 7 sotto, e ne restano tre. La regola è aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, e vale quando la base è diversa da zero e l'esponente del dividendo è maggiore o uguale a quello del divisore.
La potenza di una potenza si ha quando una potenza viene a sua volta elevata a un esponente. In questo caso si lascia la base e si moltiplicano gli esponenti. Per esempio, (2³)² significa 2³ × 2³, cioè 2⁶, che vale 64. La regola si scrive (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ. È importante distinguere questo caso dal prodotto di potenze: nel prodotto gli esponenti si sommano, nella potenza di potenza si moltiplicano.
Restano da ricordare due casi particolari. Qualsiasi numero elevato a 1 è uguale a se stesso: 9¹ = 9, perché il numero viene usato come fattore una sola volta. Qualsiasi numero diverso da zero elevato a 0 è uguale a 1: per esempio 8⁰ = 1. Questa regola si spiega con la divisione tra potenze: 4³ : 4³ fa 1, perché due numeri uguali divisi tra loro danno 1, ma applicando la proprietà si ottiene 4³⁻³ = 4⁰. Quindi 4⁰ deve valere 1. Queste regole permettono di fare i calcoli con le potenze in modo più rapido e di evitare lunghe moltiplicazioni.
Questo ripasso è stato scritto con l'aiuto dell'intelligenza artificiale e riletto prima di essere pubblicato. Per la verifica vale sempre quello che c'è sul tuo libro e che ha spiegato l'insegnante.
