Il minimo comune multiplo (mcm)
Matematica · prima media · 3 minuti di lettura
Vai alle 4 domandeIl minimo comune multiplo di due o più numeri, indicato con la sigla mcm, è il più piccolo numero diverso da zero che è multiplo di tutti i numeri considerati. Ricordiamo che un multiplo di un numero si ottiene moltiplicandolo per un numero naturale. Lasciando da parte lo zero, che è multiplo di ogni numero, i primi multipli di 4 sono 4, 8, 12, 16, 20, 24, mentre quelli di 6 sono 6, 12, 18, 24, 30. Alcuni numeri compaiono in entrambe le serie: sono i multipli comuni, per esempio 12 e 24. Il più piccolo tra questi è 12, quindi il mcm di 4 e 6 è 12.
Un primo metodo per trovare il mcm consiste nello scrivere i multipli di ciascun numero e cercare il primo che si ripete. Questo sistema funziona bene con numeri piccoli, ma diventa lungo quando i numeri sono grandi. Per questo si usa più spesso la scomposizione in fattori primi. Un numero primo è un numero maggiore di 1 che si divide solo per 1 e per se stesso, come 2, 3, 5 e 7. Scomporre un numero significa scriverlo come prodotto di numeri primi: per esempio 12 si scrive 2 × 2 × 3, cioè 2² × 3, e 18 si scrive 2 × 3 × 3, cioè 2 × 3².
Una volta scomposti i numeri, la regola è la seguente: si prendono tutti i fattori primi che compaiono, sia comuni sia non comuni, e per ciascuno si sceglie l'esponente più grande. Nel caso di 12 e 18 compaiono il 2 e il 3. Il 2 ha esponente massimo 2 e il 3 ha esponente massimo 2. Il mcm è quindi 2² × 3², cioè 4 × 9 = 36. Si può controllare che 36 sia divisibile sia per 12 sia per 18, e che nessun numero più piccolo lo sia.
Il mcm non va confuso con il massimo comune divisore, detto MCD. Il MCD è il più grande numero che divide tutti i numeri dati, mentre il mcm è il più piccolo numero che si può dividere esattamente per tutti loro. Anche il calcolo cambia: per il MCD si prendono solo i fattori comuni con l'esponente più piccolo, per il mcm si prendono tutti i fattori con l'esponente più grande. Per 12 e 18 il MCD è 2 × 3 = 6, mentre il mcm è 36. Il MCD è sempre minore o uguale ai numeri di partenza, mentre il mcm è sempre maggiore o uguale al più grande di essi.
Il mcm serve a risolvere i problemi di coincidenza, in cui due o più eventi si ripetono a intervalli regolari e si vuole sapere quando avverranno insieme. Supponiamo che un autobus passi dalla fermata ogni 10 minuti e un altro ogni 15 minuti, e che alle otto passino nello stesso istante. Per sapere dopo quanto tempo passeranno di nuovo insieme bisogna calcolare il mcm di 10 e 15. Si ha 10 = 2 × 5 e 15 = 3 × 5, quindi il mcm è 2 × 3 × 5 = 30. I due autobus si incontreranno di nuovo dopo 30 minuti. Lo stesso ragionamento vale per due amici che vanno in piscina uno ogni tre giorni e l'altro ogni quattro giorni, oppure per luci che lampeggiano con frequenze differenti. Il mcm si usa anche per sommare le frazioni con denominatori diversi, perché permette di trovare il denominatore comune più piccolo.
Questo ripasso è stato scritto con l'aiuto dell'intelligenza artificiale e riletto prima di essere pubblicato. Per la verifica vale sempre quello che c'è sul tuo libro e che ha spiegato l'insegnante.
