Le frazioni equivalenti

Una frazione rappresenta una o più parti uguali in cui è stato diviso un intero. Il denominatore indica in quante parti uguali l'intero è stato diviso, mentre il numeratore indica quante di quelle parti vengono considerate. Per esempio, se una pizza è tagliata in otto fette uguali e se ne mangiano quattro, si è mangiata la frazione quattro ottavi. Se la stessa pizza fosse tagliata in due parti uguali e se ne mangiasse una, si avrebbe un mezzo. Le due quantità sono uguali, anche se si scrivono in modo diverso: per questo si dice che le due frazioni sono equivalenti.

Due frazioni sono equivalenti quando rappresentano la stessa quantità. Per ottenerle si usa la proprietà invariantiva, che afferma che, moltiplicando o dividendo il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero diverso da zero, il valore della frazione non cambia. Partendo da un mezzo, se si moltiplicano entrambi i termini per tre si ottiene tre sesti, che è equivalente a un mezzo. Allo stesso modo, dividendo per quattro entrambi i termini di dodici sedicesimi si ottiene tre quarti. È importante applicare l'operazione a entrambi i termini, altrimenti il valore cambia.

La proprietà invariantiva permette di semplificare le frazioni. Semplificare significa dividere numeratore e denominatore per un divisore comune, ottenendo una frazione più semplice ma equivalente. Quando non esiste più alcun divisore comune oltre a uno, la frazione è ridotta ai minimi termini. Per arrivarci si può dividere per il massimo comun divisore dei due numeri. Ad esempio, diciotto ventiquattresimi si semplificano dividendo per sei e diventano tre quarti, che non si possono più semplificare perché tre e quattro non hanno divisori comuni, tranne uno.

Le frazioni si distinguono in diversi tipi. Una frazione propria ha il numeratore minore del denominatore, per esempio tre quinti, e rappresenta una quantità minore dell'intero. Una frazione impropria ha il numeratore maggiore del denominatore, per esempio sette quarti, e rappresenta una quantità maggiore dell'intero. Una frazione apparente ha il numeratore multiplo del denominatore, per esempio otto quarti, e corrisponde a un numero intero, in questo caso due. Dividere il numeratore per il denominatore permette di capire subito a quale tipo appartiene una frazione.

Le frazioni equivalenti servono anche a confrontare frazioni diverse. Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella con il numeratore più grande: cinque ottavi sono più di tre ottavi. Se hanno lo stesso numeratore, è maggiore quella con il denominatore più piccolo, perché le parti sono più grandi: un terzo è più di un quinto. Quando sia i numeratori sia i denominatori sono diversi, si riducono le frazioni allo stesso denominatore, scegliendo un multiplo comune, di solito il minimo comune multiplo. Per confrontare due terzi e tre quarti si trasformano entrambe in dodicesimi: due terzi diventano otto dodicesimi e tre quarti diventano nove dodicesimi. Poiché nove è maggiore di otto, tre quarti sono maggiori di due terzi.