I numeri razionali e la loro rappresentazione decimale

I numeri razionali sono tutti i numeri che si possono scrivere come frazione, cioè come rapporto tra due numeri interi, dove il denominatore è diverso da zero. Ne fanno parte le frazioni come 3/4 e 5/2, ma anche i numeri interi, perché ogni intero si può scrivere come frazione con denominatore 1: per esempio 7 è uguale a 7/1. I numeri razionali possono essere positivi o negativi e servono a misurare e dividere quantità che non sono intere, come una metà di pizza o un quarto di litro, e a esprimere valori sotto lo zero, come una temperatura di −2,5 °C.

Una frazione decimale è una frazione che ha come denominatore una potenza di 10, cioè 10, 100, 1000 e così via. Per esempio 3/10, 47/100 e 125/1000 sono frazioni decimali. Ognuna si trasforma facilmente in un numero decimale: 3/10 diventa 0,3, 47/100 diventa 0,47 e 125/1000 diventa 0,125. Il numero di cifre dopo la virgola è uguale al numero di zeri del denominatore. Per trasformare una qualsiasi frazione in numero decimale basta eseguire la divisione tra numeratore e denominatore.

Eseguendo questa divisione si possono ottenere due risultati. Se la divisione termina, con resto zero, si ha un numero decimale finito, come 1/4 = 0,25 oppure 3/8 = 0,375. Se invece la divisione non termina mai e una cifra o un gruppo di cifre si ripete sempre uguale, si ha un numero decimale periodico. Per esempio 1/3 = 0,333..., che si scrive 0,3 con un trattino sopra il 3, e 5/11 = 0,4545..., con periodo 45. Se tra la virgola e il periodo ci sono cifre che non si ripetono, il numero è periodico misto: 1/6 = 0,1666... ha antiperiodo 1 e periodo 6. Una frazione ridotta ai minimi termini dà un decimale finito quando il denominatore contiene come fattori primi soltanto il 2, soltanto il 5 oppure entrambi.

La frazione generatrice è la frazione da cui nasce un dato numero decimale. Per un decimale finito si scrive il numero senza virgola e si divide per 10, 100 o 1000, a seconda delle cifre decimali: 0,35 diventa 35/100, che si semplifica in 7/20. Per un periodico semplice si mette al numeratore il numero intero formato da parte intera e periodo, meno la parte intera, e al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo: 0,333... diventa 3/9, cioè 1/3. Per un periodico misto al numeratore si scrive la differenza tra il numero formato da tutte le cifre, scritto senza virgola, e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo; al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo: 0,1666... diventa (16 − 1)/90 = 15/90, cioè 1/6.

Per confrontare due numeri razionali si possono scrivere entrambi in forma decimale e confrontare prima la parte intera, poi i decimi, i centesimi e così via. Così 0,45 è minore di 0,5, perché 4 decimi sono meno di 5 decimi. Anche con le frazioni si può ridurre allo stesso denominatore e confrontare i numeratori. Sulla retta numerica i numeri razionali si collocano in ordine: i positivi a destra dello zero, i negativi a sinistra. Di due numeri, è più grande quello che sta più a destra. Tra due numeri razionali, per quanto vicini, ne esistono sempre altri, per cui sulla retta i punti razionali sono infinitamente fitti.