Le proporzioni e le loro proprietà
Matematica · seconda media · 3 minuti di lettura
Vai alle 4 domandeUna proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti. Se il rapporto tra a e b è uguale al rapporto tra c e d, si scrive a : b = c : d e si legge «a sta a b come c sta a d». I numeri a e d sono detti estremi, mentre b e c sono detti medi. Il primo e il terzo termine si chiamano antecedenti, il secondo e il quarto conseguenti. Per esempio, 6 : 3 = 10 : 5 è una proporzione, perché sia 6 diviso 3 sia 10 diviso 5 danno come risultato 2. Quando i due medi sono uguali, la proporzione si dice continua, come in 12 : 6 = 6 : 3.
La proprietà fondamentale afferma che in ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Nell'esempio 6 : 3 = 10 : 5, il prodotto degli estremi è 6 · 5 = 30 e quello dei medi è 3 · 10 = 30. I due risultati coincidono. Questa proprietà è molto utile, perché permette di controllare se quattro numeri, presi in un certo ordine, formano davvero una proporzione. Se i due prodotti sono diversi, l'uguaglianza tra i rapporti non è vera.
Grazie alla proprietà fondamentale si può calcolare il termine incognito, cioè un numero che non conosciamo e indichiamo con x. Se l'incognita è un estremo, si moltiplicano i due medi e si divide il risultato per l'altro estremo. Se l'incognita è un medio, si moltiplicano i due estremi e si divide per l'altro medio. Per esempio, nella proporzione 4 : 12 = 5 : x, x è un estremo, quindi si moltiplicano i medi, 12 · 5 = 60, e si divide per l'altro estremo, 4. Si ottiene x = 15. Nella proporzione 8 : x = 4 : 3, x è un medio, quindi si calcola 8 · 3 = 24 e si divide per 4, ottenendo x = 6.
Le proporzioni servono nella vita di tutti i giorni. Se tre quaderni costano 6 euro, per sapere quanto costano cinque quaderni si imposta la proporzione 3 : 6 = 5 : x e si trova x = 10 euro. Lo stesso metodo si usa nelle ricette, quando si cambiano le quantità degli ingredienti in base al numero di persone, oppure nelle carte geografiche, dove le distanze sulla carta sono proporzionali a quelle reali.
Le proprietà del comporre e dello scomporre permettono di trasformare una proporzione in un'altra equivalente. Secondo la proprietà del comporre, la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la somma degli ultimi due sta al terzo (o al quarto). Partendo da 6 : 3 = 10 : 5 si ottiene (6 + 3) : 6 = (10 + 5) : 10, cioè 9 : 6 = 15 : 10, e infatti entrambi i rapporti valgono 1,5. La proprietà dello scomporre funziona allo stesso modo, ma con la differenza al posto della somma, supponendo che il primo termine sia maggiore del secondo. Si ha quindi (6 − 3) : 6 = (10 − 5) : 10, cioè 3 : 6 = 5 : 10, e i due rapporti valgono entrambi 0,5. Queste proprietà sono comode nei problemi in cui si conosce la somma o la differenza di due grandezze e se ne vuole trovare il valore.
Questo ripasso è stato scritto con l'aiuto dell'intelligenza artificiale e riletto prima di essere pubblicato. Per la verifica vale sempre quello che c'è sul tuo libro e che ha spiegato l'insegnante.
