Il massimo comune divisore (MCD)
Matematica · prima media · 3 minuti di lettura
Vai alle 4 domandeIl massimo comune divisore di due o più numeri naturali, che si indica con la sigla MCD, è il più grande tra i numeri che dividono tutti quelli dati senza lasciare resto. Per capirlo, bisogna ricordare che un divisore di un numero è un numero che lo divide esattamente. Per esempio, i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12, mentre i divisori di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9 e 18. I divisori comuni a entrambi sono 1, 2, 3 e 6, e il più grande di questi è 6. Perciò si scrive MCD(12, 18) = 6.
Un metodo semplice per trovare il MCD consiste nello scrivere tutti i divisori dei numeri e confrontarli, ma diventa lungo quando i numeri sono grandi. Per questo si usa più spesso la scomposizione in fattori primi. Un numero primo è un numero maggiore di 1 che ha come divisori soltanto 1 e se stesso, come 2, 3, 5, 7 e 11. Ogni numero naturale maggiore di 1 si può scrivere come prodotto di numeri primi, e questa scrittura è unica.
Per calcolare il MCD con la scomposizione si procede così: si scompone ciascun numero in fattori primi, si scelgono solo i fattori che compaiono in tutte le scomposizioni e, per ognuno, si prende l'esponente più piccolo. Infine si moltiplicano i fattori scelti. Prendiamo 60 e 72. Si ha 60 = 2² × 3 × 5 e 72 = 2³ × 3². I fattori comuni sono 2 e 3. Il 2 compare con esponente 2 in 60 e con esponente 3 in 72, quindi si prende 2²; il 3 compare con esponente 1 in 60 e con esponente 2 in 72, quindi si prende 3. Perciò MCD(60, 72) = 2² × 3 = 12. Il fattore 5 non viene usato, perché non è presente in tutti e due i numeri.
Esistono coppie di numeri che hanno come unico divisore comune il numero 1. In questo caso si dice che i numeri sono primi tra loro, o coprimi. Per esempio 8 e 15 sono primi tra loro: i divisori di 8 sono 1, 2, 4 e 8, quelli di 15 sono 1, 3, 5 e 15, e l'unico in comune è 1. È importante notare che due numeri primi tra loro non sono necessariamente numeri primi. Infatti 8 e 15 non sono primi, eppure il loro MCD è 1. Due numeri primi diversi, come 7 e 11, sono sempre primi tra loro.
Il MCD è molto utile nei problemi di suddivisione, cioè quando bisogna dividere quantità diverse in gruppi uguali, formando il numero maggiore possibile di gruppi. Supponiamo che una maestra abbia 24 matite e 36 quaderni e voglia preparare dei sacchetti tutti uguali, senza avanzi. Il numero di sacchetti deve dividere sia 24 sia 36, quindi deve essere un divisore comune. Se cerca il numero massimo di sacchetti uguali, calcola MCD(24, 36) = 12. Potrà preparare 12 sacchetti, ognuno con 2 matite e 3 quaderni. Lo stesso ragionamento serve per tagliare pezzi di nastro o di stoffa della stessa lunghezza, la più grande possibile, senza sprecare nulla.
Questo ripasso è stato scritto con l'aiuto dell'intelligenza artificiale e riletto prima di essere pubblicato. Per la verifica vale sempre quello che c'è sul tuo libro e che ha spiegato l'insegnante.
