Il piano cartesiano
Matematica · terza media · 3 minuti di lettura
Vai alle 4 domandeIl piano cartesiano è un modo per descrivere la posizione di punti e figure su un foglio usando i numeri. È formato da due rette perpendicolari, chiamate assi cartesiani, che si incontrano in un punto detto origine. L'asse orizzontale è l'asse delle ascisse, indicato di solito con x, mentre quello verticale è l'asse delle ordinate, indicato con y. Su ciascun asse si fissa un'unità di misura e si segnano i numeri: positivi verso destra e verso l'alto, negativi verso sinistra e verso il basso. Gli assi dividono il piano in quattro zone chiamate quadranti, numerati in senso antiorario a partire da quello in alto a destra.
Ogni punto del piano è individuato da una coppia ordinata di numeri, le sue coordinate, scritte tra parentesi, per esempio A(3; 2). Il primo numero è l'ascissa e indica di quanto ci si sposta lungo l'asse x; il secondo è l'ordinata e indica di quanto ci si sposta lungo l'asse y. L'ordine è importante: il punto (3; 2) è diverso dal punto (2; 3). L'origine ha coordinate (0; 0), mentre i punti dell'asse x hanno ordinata uguale a zero e quelli dell'asse y hanno ascissa uguale a zero.
Per rappresentare un punto si parte dall'origine, ci si sposta orizzontalmente e poi verticalmente fino a trovare l'incrocio giusto. Per disegnare un poligono si segnano i suoi vertici e poi si uniscono con dei segmenti, seguendo l'ordine. Per esempio, i punti A(1; 1), B(5; 1), C(5; 4) e D(1; 4) formano un rettangolo. Leggendo le coordinate dei vertici si possono riconoscere anche le caratteristiche della figura, come i lati paralleli agli assi.
Quando due punti si trovano sulla stessa retta parallela a un asse, calcolare la distanza è semplice. Se hanno la stessa ordinata, il segmento è orizzontale e la sua lunghezza si ottiene sottraendo la minore delle ascisse dalla maggiore. Se hanno la stessa ascissa, il segmento è verticale e si sottraggono le ordinate. Per esempio, tra A(1; 1) e B(5; 1) la distanza è 5 − 1 = 4 unità. Questo permette di trovare le misure dei lati di un rettangolo e quindi il suo perimetro e la sua area.
Il piano cartesiano è utile anche per studiare le trasformazioni geometriche. La simmetria assiale rispetto a un asse produce una figura speculare: rispetto all'asse y il punto (3; 2) diventa (−3; 2), cioè cambia segno l'ascissa, mentre rispetto all'asse x diventa (3; −2), cioè cambia segno l'ordinata. La simmetria centrale rispetto all'origine cambia il segno di entrambe le coordinate e il punto (3; 2) diventa (−3; −2). La traslazione, invece, sposta tutta la figura nella stessa direzione e della stessa quantità, senza ruotarla né deformarla. Se si trasla di 4 unità verso destra e di 1 verso l'alto, a ogni punto si aggiunge 4 all'ascissa e 1 all'ordinata: il punto (3; 2) diventa (7; 3). In tutte queste trasformazioni lunghezze e angoli della figura restano invariati.
Questo ripasso è stato scritto con l'aiuto dell'intelligenza artificiale e riletto prima di essere pubblicato. Per la verifica vale sempre quello che c'è sul tuo libro e che ha spiegato l'insegnante.
