Il teorema di Pitagora
Matematica · terza media · 3 minuti di lettura
Vai alle 4 domandeIl teorema di Pitagora riguarda esclusivamente i triangoli rettangoli, cioè i triangoli che hanno un angolo di 90 gradi. In un triangolo di questo tipo il lato più lungo, opposto all'angolo retto, si chiama ipotenusa, mentre i due lati che formano l'angolo retto si chiamano cateti. Il teorema afferma che in ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti. Si tratta di una proprietà molto importante, perché permette di collegare tra loro le misure dei tre lati.
Dal punto di vista numerico, l'enunciato si traduce in una formula. Se indichiamo con a e b le misure dei cateti e con c la misura dell'ipotenusa, vale la relazione c² = a² + b². Questo significa che, per trovare l'ipotenusa, bisogna elevare al quadrato i due cateti, sommare i risultati e poi calcolare la radice quadrata della somma. Per esempio, in un triangolo con cateti di 3 cm e 4 cm si ottiene 9 + 16 = 25, e la radice quadrata di 25 è 5, quindi l'ipotenusa misura 5 cm. Tre numeri naturali che verificano la relazione c² = a² + b², come 3, 4 e 5, formano una terna pitagorica.
Il teorema si può usare anche al contrario, ricavando le formule inverse per trovare un cateto quando si conoscono l'ipotenusa e l'altro cateto. In questo caso si sottrae: a² = c² − b² e b² = c² − a². Quindi il cateto si ottiene calcolando la radice quadrata della differenza tra il quadrato dell'ipotenusa e il quadrato dell'altro cateto. Se l'ipotenusa misura 13 cm e un cateto 5 cm, si calcola 169 − 25 = 144, e la radice quadrata di 144 è 12, perciò l'altro cateto misura 12 cm. È importante ricordare che l'ipotenusa è sempre il lato più lungo, quindi il quadrato di un cateto è sempre minore del quadrato dell'ipotenusa e la differenza è sempre un numero positivo.
Il teorema è molto utile anche in altre figure geometriche, perché in molte di esse si nascondono triangoli rettangoli. In un rettangolo la diagonale divide la figura in due triangoli rettangoli: i lati sono i cateti e la diagonale è l'ipotenusa. Nel quadrato la diagonale si trova allo stesso modo. In un triangolo isoscele, l'altezza relativa alla base lo divide in due triangoli rettangoli uguali, e così si può calcolare l'altezza conoscendo i lati. Lo stesso accade nel trapezio rettangolo o nel trapezio isoscele, dove si traccia l'altezza per ottenere un triangolo rettangolo e trovare il lato obliquo.
Nelle figure composte, cioè formate da più figure semplici unite insieme, conviene prima scomporre il disegno in parti conosciute, come rettangoli, quadrati e triangoli. Poi si usa il teorema di Pitagora per trovare le misure mancanti, e infine si calcolano perimetri e aree sommando i risultati. Si procede con ordine: si individua il triangolo rettangolo, si riconoscono cateti e ipotenusa, si sceglie la formula giusta e si controlla che il risultato sia ragionevole. Questo metodo serve anche nella vita reale, per esempio per calcolare la lunghezza di una scala appoggiata a un muro o la distanza in linea retta tra due punti.
Questo ripasso è stato scritto con l'aiuto dell'intelligenza artificiale e riletto prima di essere pubblicato. Per la verifica vale sempre quello che c'è sul tuo libro e che ha spiegato l'insegnante.
