Le frazioni equivalenti e la proprietà invariantiva
Matematica · seconda media · 3 minuti di lettura
Vai alle 4 domandeUna frazione rappresenta una o più parti uguali di un intero che è stato diviso in parti uguali. Il numero sotto la linea di frazione si chiama denominatore e indica in quante parti è stato diviso l'intero; il numero sopra si chiama numeratore e indica quante di quelle parti si considerano. Se una pizza viene tagliata in quattro fette uguali e se ne mangia una, si è mangiato 1/4 della pizza. Se la stessa pizza viene tagliata in otto fette uguali e se ne mangiano due, si è mangiato 2/8. Le due frazioni sono scritte in modo diverso, ma indicano la stessa quantità di pizza.
Due frazioni che rappresentano la stessa quantità si dicono equivalenti, e per indicarlo si usa il simbolo di uguale: 1/4 = 2/8. Le frazioni equivalenti hanno numeratori e denominatori diversi, ma lo stesso valore. Si possono riconoscere con un metodo semplice: due frazioni a/b e c/d sono equivalenti quando il prodotto a × d è uguale al prodotto b × c. Per esempio, 2/3 e 4/6 sono equivalenti perché 2 × 6 = 12 e 3 × 4 = 12.
Il motivo per cui esistono tante frazioni equivalenti è spiegato dalla proprietà invariantiva. Essa afferma che, se si moltiplicano o si dividono il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero, diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente a quella di partenza. Ad esempio, moltiplicando per 3 sia il numeratore sia il denominatore di 2/5 si ottiene 6/15, che ha lo stesso valore di 2/5. È importante usare lo stesso numero in alto e in basso: se si cambiasse solo uno dei due termini, il valore della frazione cambierebbe.
Applicando la proprietà invariantiva con la divisione si ottiene la semplificazione. Semplificare una frazione significa dividere numeratore e denominatore per un loro divisore comune, ottenendo una frazione con numeri più piccoli e più facili da usare. Per esempio, 12/18 si può semplificare per 6 e diventa 2/3. Quando numeratore e denominatore non hanno più divisori comuni, a parte 1, la frazione si dice ridotta ai minimi termini. Per arrivarci in un solo passaggio si divide per il massimo comun divisore dei due numeri. Una frazione ridotta ai minimi termini, come 2/3, non può più essere semplificata.
La proprietà invariantiva serve anche per confrontare le frazioni. Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella con il numeratore più grande: 5/8 è maggiore di 3/8. Se hanno lo stesso numeratore, è maggiore quella con il denominatore più piccolo, perché le parti sono più grandi: 3/4 è maggiore di 3/7. Quando numeratori e denominatori sono entrambi diversi, si riducono le frazioni allo stesso denominatore, scegliendo come denominatore comune il minimo comune multiplo dei denominatori. Per confrontare 2/3 e 3/4 si usa il numero 12: 2/3 diventa 8/12 e 3/4 diventa 9/12. Poiché 9/12 è maggiore di 8/12, si conclude che 3/4 è maggiore di 2/3.
Questo ripasso è stato scritto con l'aiuto dell'intelligenza artificiale e riletto prima di essere pubblicato. Per la verifica vale sempre quello che c'è sul tuo libro e che ha spiegato l'insegnante.
